LA GEOMETRÍA DE LAS PIRÁMIDES

            Las grandes pirámides perfectas, de caras lisas y base cuadrada de la IV dinastía, se encuentran entre las obras más populares del antiguo Egipto. Dentro de una etapa de 8 siglos de construcciones, la mas sobresaliente es la colosal obra de Keops, a la que cuesta encuadrar históricamente ya que resulta un tanto desconcertante atribuir la autoría de esta pionera construcción a un reinado menor en cuanto a poderío, influencia regional y expresión artística, respecto a la del imperio posterior.

Imagen extraída de  pxhere

            Según la historia aceptada, el camino a la perfección de la construcción de pirámides es tan rápido que entre la pirámide escalonada construida por Inmhotep a la de Keops solo pasa un siglo, en el que se construyen otras tres obras colosales.

            Pongámonos en situación. Imhotep, en tiempos del rey Zoser[i] (2.650 a. C.) segundo faraón de la III dinastía, fue el autor del complejo funerario de la "Pirámide Escalonada" de Saqqara, cerca de Menfis​. ​ Esta pirámide serviría de modelo a las demás, sus sucesores en la dinastía iniciaron pirámides escalonadas y no acabadas hasta llegar el reinado de  Huny, o más bien su sucesor Seneferu que terminó la primera pirámide "clásica" monumental de base cuadrada y caras lisas en Meidum. Después, en Dahshur ordenó erigir dos pirámides más muy singulares, la Pirámide Acodada, construida con ocho caras laterales (cuatro triangulares y cuatro trapezoidales), y la Pirámide Roja, con forma de pirámide clásica  realizada con una perfección similar a la más famosa de su sucesor Jufu (Keops para Heródoto).

Pirámide escalonada de Zoser (Fuente De Charles J Sharp - Trabajo propio, from Sharp Photography, sharpphotography, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=32434567)

Pirámide acodada (Fuente: CC BY-SA 2.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=567433)

Pirámide roja (Fuente: CC BY-SA 2.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=949380)

            Esto supone que en un plazo de 846 años se construyen al menos 25 pirámides perfectas, desde la primera de Seneferu (iniciada por Huny en 2.612 a.C.) hasta la de Jendyer en el 1750 a.C. Supusieron una volumen total de 11,400  millones de m³ de piedra aproximadamente. Curiosamente las primeras, las tres pirámides de Seneferu  más la de su hijo Keops y la de Kefren, construidas todas en un plazo de 73 años, suponen un movimiento de piedra de cerca de 8,400 millones de m³ de piedra. Es decir que consumieron el 74% de todo el volumen de piedra, y además fueron las mejor construidas, de hecho el resto de pirámides generalmente son un montón de escombros.

En resumen:

·         En los primeros 73 años de la era de las pirámides se construyen las cinco más perfectas consumiendo el 74% de toda la piedra.

·         El resto de los ocho siglos, se construyen al menos 20 pirámides más cuya suma apenas es más de 1/4 del total y de las que muchas veces apenas queda rastro de su forma.

·         Con la piedra de  la pirámide de Keops podrían construirse casi 100 pirámides de 50 m de lado como las de Jendyer o Amosis I.

            Estos datos les puede sorprender pero hagan el cálculo de como crece en volumen una pirámide. Supongamos una serie de pirámides con idéntica forma o semejantes en términos matemáticos, lo que significa que tienen la misma pendiente de las caras. Pongamos una pendiente de 51º 50' 40", como la pirámide de Keops.

Lado	Altura	Volumen
50	31,8	26.515
100	63,6	212.123
150	95,4	715.916
200	127,3	1.696.987
230,4	146,6	2.594.394

            Solamente añadiendo los 30,4 m a la de 200 m para llegar al tamaño de la Gran Pirámide supone un volumen total de  2.594.394 m³, un incremento de un 53%.

            Tabla de las pirámides principales (Fuente: Wikipedia).

Faraón	Dinastía	Año a. C. aprox.	Situación	Geometría
				Lado N (m)	Lado E (m)	Altura (m)
Sejemjet	III	2638	Saqqara	120	120	70
Jaba	III	2633	Zawyet el-Aryan	83,8	83,8	40
Nebkara	IV	2620	Zawyet el-Aryan	180	110	(?)
Seneferu (1ª) (iniciada por Huny en 2612)	III/IV	2596	Meidum	144	144	92
Seneferu (2ª)	IV	2596	Dahshur	188	188	105
Seneferu (3ª)	IV	2582	Dahshur	220	220	104
Keops (Jufu)	IV	2557	Guiza	230,3	230,3	146,6
Dyedefra	IV	2549	Abu Roash	106,2	106,2	67 (?)
Kefrén (Jafra)	IV	2523	Guiza	215,2	215,2	143,5
Micerino (Menkaura)	IV	2502	Guiza	104,6	102,2	66,4
Shepseskaf	IV	2494	Saqqara	99,6	74,4	18,7
Jentkaus I	IV	2494	Saqqara	45,5	45,8	17,5
Userkaf	V	2484	Saqqara	73,3	73,3	49
Sahura	V	2470	Abusir	78,5	78,5	48
Neferirkara	V	2455	Abusir	104	104	72
Shepseskara	V	2450	Abusir	(?)	(?)	(?)
Neferefra-Isi (mastaba)	V	2440	Abusir	65	65	(?)
Nyuserra-Iny	V	2415	Abusir	78,5	78,5	50
Menkauhor-Ikauhor	V	2400	Saqqara (?)	68 (?)		(?)
Dyedkara-Isesi	V	2375	Saqqara	78,7	78,7	52,5
Unis	V	2345	Saqqara	57,7	57,7	43
Teti	VI	2325	Saqqara	78,7	78,7	52,5
Pepy I	VI	2300	Saqqara	78,7	78,7	52,5
Merenra I	VI	2265	Saqqara	78,7	78,7	52,5
Pepy II	VI	2200	Saqqara	78,7	78,7	52,5
Neferkara Neby	VII	2170	Saqqara (?)	(?)	(?)	(?)
Kakaura Ibi	VIII	2170	Saqqara	24 (?)	24 (?)	21,6 (?)
Jui	VIII	2170	Dara	144	138	(?)
Iti	VIII	2170	(?)	(?)	(?)	(?)
Merykara	X	2100	(?)	(?)	(?)	(?)
Amenemhat I	XII	1970	El-Lisht	84	84	59
Senusert I	XII	1940	El-Lisht	105,2	105,2	48,6
Amenemhat II	XII	1895	Dashur	50 (?)	50 (?)	(?)
Senusert II	XII	1878	El-Lahun	107	107	48,6
Amenemhat II	XII	1850	Dahshur	105	105	61,2
Amenemhat III (1ª)	XII	1820	Dahshur	105	105	75
Amenemhat III (2ª)	XII	1800	Hawara	102	102	58
Amenemhat IV	XII	1790	Mazghuna	52,5 (?)	52,5 (?)	(?)
Neferusobek	XII	1786	Mazghuna	52 (?)	52 (?)	(?)
Ameny Qemau	XIII	1760	Dahshur	49,5	49,5	(?)
Jendyer	XIII	1750	Saqqara	52,5	52,5	37,3
Amosis I	XVIII	1530	Abidos	52	40	(?)

           

            Durante 8 siglos se construirán pirámides siguiendo un patrón, pero antes de continuar hagamos una crítica fundamental acerca de las dimensiones de las pirámides. En muchos sitios en los que se sostienen diversas hipótesis acerca de la geometría piramidal se basan en unas medidas pretendidamente ciertas. Yo soy escéptico y no es mi intención convencerles sino darles datos para que reflexionen sobre ello. En términos matemáticos, comprenda que la precisión de la medida obtenida no tiene mucho valor, la única medida interesante es la que se encontraba en la cabeza del arquitecto, hoy diríamos la de los planos del proyecto. Entendiendo el significado de "la medida" como proporción tal como se explicó en las entradas anteriores,  sería interesante conocer ese logos o proporción en que se expresa la geometría de las pirámides. Por tanto, no importa mucho la exactitud de este valor ni tiene sentido matemático las medidas en metros o pulgadas;  sino de codos reales, como vamos a ver.

            En el mundo más académico se han usado las medidas de Petrie, luego ha habido otras medidas más modernas. En rigor, todas ellas tienen errores y no únicamente un error topográfico, esto es insignificante, lo de menos. Por ejemplo, las pirámides están muy deterioradas. ¡Hablamos de construcciones de hace 4.000 años! Algunas son un montón de escombros. ¿Cómo conocer su lado?  Un detalle que puede pasar inadvertido, es el error al pasar las medidas anglosajonas al SMD[ii].

            Ahora viene un punto importante. Si buscamos las medidas originales, según Petrie estaban en codos reales, por ello no resulta extraño que dada la incertidumbre de la "medida exacta" que nos ofrece el trabajo topográfico acercando la medida al milímetro o la décima de pulgada (en el caso del británico) se haga el redondeo de la medida en codos reales.  Llegado a este punto puede uno abandonar o admitir estas limitaciones. Desgraciadamente no he podido, ni creo que pueda, medir yo mismo las pirámides para asumir los errores de medición; pero si, puedo hacer el redondeo. Tengan por tanto en cuenta todo esto.

            Ahora nos quedaremos con las pirámides más perfectas e importantes para establecer cuales son los parámetros que se utilizaron en el diseño de estas construcciones.  Las medidas del lado las hemos expresado en tres "medidas" usualmente aceptadas del cr (codo real) y vemos su redondeo.

			medidas en codos reales
Pirámide	Lado      (m)	h     (m)	cr 0,523	cr 0,5238	cr 0,524	REDONDEO                  CR
Sejemjet	120	70	229,45	229,10	229,01	230
Jaba	83,8	40	160,23	159,98	159,92	160
Seneferu (1ª)	144	92	275,33	274,91	274,81	275
Seneferu (2ª)	188	105	359,46	358,92	358,78	360
Seneferu (3ª)	220	104	420,65	420,01	419,85	420
Keops (Jufu)	230,3	147	440,34	439,67	439,50	440
Kefrén (Jafra)	215,2	144	411,47	410,84	410,69	410
Micerino (Menkaura)	104,6	66,4	200,00	199,69	199,62	200
Jentkaus I	45,5	17,5	87,00	86,87	86,83	87
Userkaf	73,3	49	140,15	139,94	139,89	140
Sahura	78,5	48	150,10	149,87	149,81	150
Neferirkara	104	72	198,85	198,55	198,47	200
Nyuserra-Iny	78,5	50	150,10	149,87	149,81	150
Dyedkara-Isesi	78,7	52,5	150,48	150,25	150,19	150
Unis	57,7	43	110,33	110,16	110,11	110
Teti	78,7	52,5	150,48	150,25	150,19	150
Pepy I	78,7	52,5	150,48	150,25	150,19	150
Merenra I	78,7	52,5	150,48	150,25	150,19	150
Pepy II	78,7	52,5	150,48	150,25	150,19	150
Amenemhat I	84	59	160,61	160,37	160,31	160
Senusert I	105,2	48,6	201,15	200,84	200,76	200
Senusert II	107	48,6	204,59	204,28	204,20	204
Amenemhat III (1ª)	105	75	200,76	200,46	200,38	200
Amenemhat III (2ª)	102	58	195,03	194,73	194,66	195
Jendyer	52,5	37,3	100,38	100,23	100,19	100

Se puede apreciar como se puede redondear  en múltiplos de 5 el lado expresado en cr.

Igualmente es fácil encontrar como las pendientes (medida como tangente, tg) de las caras calculadas según las medidas en metros, a pesar del error de la medición, se acerca mucho a la teórica del sequed (tg sequed).

Pirámide	Lado       (m)	h   (m)	TG	TG SEQ	Sequed      (dedos)
Sejemjet	120	70	1,166667	1,166667	24
Jaba	83,8	40	0,954654	0,965517	29
Seneferu (1ª)	144	92	1,277778	1,272727	22
Seneferu (2ª)	188	105	1,117021	1,12	25
Seneferu (3ª)	220	104	0,945455	0,965517	29
Keops (Jufu)	230,3	147	1,273122	1,272727	22
Kefrén (Jafra)	215,2	144	1,333643	1,333333	21
Micerino (Menkaura)	104,6	66,4	1,269598	1,272727	22
Jentkaus I	45,5	17,5	0,769231	0,756757	37
Userkaf	73,3	49	1,336971	1,333333	21
Sahura	78,5	48	1,22293	1,217391	23
Neferirkara	104	72	1,384615	1,4	20
Nyuserra-Iny	78,5	50	1,273885	1,272727	22
Dyedkara-Isesi	78,7	52,5	1,33418	1,333333	21
Unis	57,7	43	1,490468	1,473684	19
Teti	78,7	52,5	1,33418	1,333333	21
Pepy I	78,7	52,5	1,33418	1,333333	21
Merenra I	78,7	52,5	1,33418	1,333333	21
Pepy II	78,7	52,5	1,33418	1,333333	21
Amenemhat I	84	59	1,404762	1,4	20
Senusert I	105,2	48,6	0,923954	0,933333	30
Senusert II	107	48,6	0,908411	0,903226	31
Amenemhat III (1ª)	105	75	1,428571	1,4	20
Amenemhat III (2ª)	102	58	1,137255	1,333333	21
Jendyer	52,5	37,3	1,420952	1,4	20

                        Recordemos que en geometría el término semejante hace alusión a igualdad de forma, independientemente del tamaño. Las formas de las pirámides perfectas de base cuadrada queda definida únicamente por la pendiente de sus caras, una proporción -un número-  que los antiguos egipcios lo llamaban sequed y era tan simple como nuestra pendiente en tantos por ciento.

            El sequed se representaba como  la pendiente de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos serian, el vertical igual al patrón de medida y el horizontal el número de submultiplos de esta unidad.

            Durante este periodo se usó como unidad fundamental el codo real y sus submúltiplos serian el palmo y dedo.

1 codo real (cr)= 7 palmos= 28 dedos.

Por tanto el sequed 22 era el de 22 dedos por codo.

            En el manuscrito Rhind[iii], un texto de problemas para los estudiantes escribas, aparecen problemas de cálculo de medidas de pirámides con uso de fracciones (recuerdo que los egipcios no usaban decimales). Así, por ejemplo, el problema 56 trata del cálculo del sequed de una pirámide de 250 codos de altura y 360 codos de lado en la base. La inclinación decimal podemos expresarla como 0,72 (72% de pendiente) es decir 20,16 dedos o, lo que es lo mismo, 5 palmos y 0,16 dedo. Los egipcios no usaban nuestra notación y no tenían decimales, así que lo expresaban como fracción de dedo y seria un sequed de 5 y 1/25 palmos por codo.

Siguiendo las medidas en la tabla vemos que las principales pirámides tiene un sequed de 20, 21, 22, 23, 24, 25 y 29. Siendo  la pendiente más usada la de 21 dedos por codo.

            Entonces tenemos un modelo geométrico de forma piramidal regular con base cuadrada definido únicamente por la pendiente de las caras. A la hora de mostrarle al faraón el futuro proyecto solamente habría que mostrarle la forma de sequed 20, 21, ....etc; mientras que el tamaño, vendría definido por el lado que lógicamente sería una cantidad entera de unidades.

            En consecuencia, otras medidas usadas por los estudiosos del tema como la altura, la diagonal de la base o la pendiente de la arista son derivadas del lado y pendiente de la cara; por lo que sus números no parece que definan la pirámide. En este sentido se ha escrito mucho sobre ciertos números o proporciones que aparecen a partir de las medidas, como es el caso de pi dentro la geometría de la Gran Pirámide de Keops. ¿Es posible determinar esto?

            Dicen que los egipcios conocían únicamente números racionales, aquellos expresables en forma de fracción. También nosotros en nuestro día a día usamos estos números, cuando pagamos un café o calculamos el tiempo que vamos a tardar en llegar  a la oficina o medimos el tamaño del mueble que queremos comprar para una habitación y, sin embargo, los números irracionales están más en nuestra vida que lo que pensamos. Para comprender como los manejaban con sus limitadas matemáticas, olvidémonos de nuestro prejuicio de "la medida" y pensemos que algunos irracionales eran fácilmente representados mediante una  construcción euclidiana, con una regla no graduada y un compás.

            Por ejemplo, algo simple que conoce todo el que haya estudiado dibujo técnico, es la forma de dibujar un cuadrado.  Partimos de una larga recta (por definición es infinita) abrid el compás y fijarlo, esta distancia sobre la recta va ser el lado, luego haced los siguientes pasos.

1.      Hacemos círculos en los extremos del segmento.

2.      Abrimos un poco más el compás y hacemos nuevos círculos con centros en los nuevos  puntos de corte en la recta. Unimos con una recta los puntos de cruce. De esta forma tenemos definida las rectas de los dos lados ortogonales del cuadrado.

3.      Ahora es fácil trasladar los lados a las rectas ortogonales, con un arco circular con centro en los extremos del segmento original y radio la longitud de éste.

4.      Ya solo queda unir con la regla los puntos de corte para cerrar nuestro cuadrado con el lado paralelo al inicial.

De esta construcción tan básica podemos tomar la relación entre el lado y la diagonal que es √2. De igual forma es fácil encontrar otros inconmensurables  como phi, √3 y √5.

            Esta forma de representar números irracionales ha sido intencionadamente usada en la arquitectura desde el comienzo de los tiempos. En el caso de Egipto es particularmente importante √2,  que se deduce del llamado Teorema de Pitágoras - conocido ya por los antiguos egipcios-. En particular aparece a partir de los números enteros o proporciones 3-4-5 dentro del llamado triángulo sagrado egipcio, usado para formar ángulos rectos.

            En todo caso tenemos una materialización de una idea, y para verificar la presencia de determinados números o más bien proporciones vamos a tener que proceder de forma inversa, a partir de unas medidas, lo que matemáticamente no es correcto; pero no tenemos otra forma de acercarnos al plano del arquitecto.

      

Codo egipcio en el Louvre (De Desconocido, CC BY-SA 2.0 fr, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=389600)

      Siendo así podemos intentar determinar con precisión el valor del cr. Según los patrones físicos encontrados que podemos ver en los museos como varas graduadas, el cr mediría en torno a 0,524 m[iv]. De hecho no miden todos exactamente lo mismo. Se dice que una buena referencia se encuentra en la Cámara Real de la Gran Pirámide, ya que mide exactamente 10,48 m x 5,24 m, con una precisión de 1 mm, lo que nos permite interpretar la alta precisión con la que se realizó está pirámide, que va más allá de la moderna arquitectura, hagan la prueba y midan con esta precisión en casa- con un medidor láser - las dimensiones de sus habitaciones.

            Haciendo una correlación con precisión de una décima de milímetro he llegado a la conclusión que la medida que más se aproxima es 0.5238 para las pirámides de la IV dinastía y 0.5240 para las posteriores.

            Ahora bien, lo realmente importante es que podemos ajustar el valor del cr pues la longitud del lado de la base es múltiplo de 5 y frecuentemente de 10.

En conclusión, las pirámides perfectas guardan un patrón geométrico -forma- y una relación de semejanza -tamaño-:

Ø  La forma geométrica queda definida perfectamente por el sequed o pendiente de sus caras entre 20 y 25, excepcionalmente 29 (pirámide roja).

Ø  El tamaño es función de las medidas del lado,  un múltiplo de 5 en cr. Un múltiplo de 10 salvo la más antigua, la de Huny.

            Por tanto, ateniéndonos a los datos expuestos, ya conocemos con bastante precisión la medida del cr y la forma geométrica, requisitito previo para verificar la supuesta presencia de números como  π, φ. Pero antes de entrar en ello les advierto que tenemos que ser escépticos,  pues la egiptología no admite conocimientos matemáticos avanzados para los egipcios constructores de pirámides. (Si aún no lo han hecho, vean LAS MATEMÁTICAS DE LOS CONSTRUCTORES DE LAS PIRÁMIDES).  

            Quiero recordar en primer lugar que,  aunque se habla de La Gran Pirámide como algo singular  en cuanto a geometría, no lo es. La primera pirámide de forma perfecta (Huny) y la construida siglo y medio después de Niuserra, son semejantes a la de Keops y, por tanto, comparten las mismas proporciones geométricas. Entonces, hagan un esfuerzo de abstracción y no piensen en la medida sino en las proporciones o relaciones geométricas tal como se desarrolla en el pensamiento  matemático griego, con una regla no graduada y un compás. En este sentido el término "logos" tiene entre sus acepciones originales este concepto de proporción respecto a un patrón. Entonces,  ¿Cuál es el logos universal?

            Hay  bastante consenso en que fue el cuerpo humano, por eso el sistema de medida antiguo era un  sistema antropométrico. Si observamos en el Hombre de Vitruvio (HV a partir de ahora) podemos ver el sistema de proporciones del canon antropométrico clásico, en el que "codo" o "pie" es una proporción. Dejemos claro esto, pues frecuentemente vemos la confusión, patrones  (medidas) del "codo" o "pie" hay muchos en la bibliografía.

            Sin embargo ¿hubo un modelo humano universal para establecer la medida?

            Este es un debate abierto actualmente, que vamos a tratar. La alternativa al modelo humano sería La Tierra por motivos prácticos obvios. Pero la toma en consideración de un sistema de medidas basado en el tamaño del planeta hace más de 4.000 años  choca con lo admitido hasta ahora para el conocimiento matemático y astronómico de las primeras civilizaciones.

            Lo que si es evidente es que el canon antropométrico extendido por el mundo antiguo fue heredado del mundo egipcio, manteniéndose hasta la llegada del sistema métrico decimal cuando se define el metro por primera vez como 1/10.000.000 parte del semiarco meridiano terrestre (1/4 de la circunferencia terrestre polar). Como la Tierra no es una esfera (esto se sabía ya cuando se determinó el metro) y la precisión de las medidas aumentó, hizo que no fuese un patrón fiable, por lo que se buscó otras formas de definirlo hasta la actualidad, en que se usa la velocidad de la luz, la gran constante universal.

            Sin embargo, el sistema de medidas antiguo, que en apariencia es un galimatías pues hay infinidad de patrones locales, tiene sin embargo unas características comunes que pasan por unas proporciones antropométricas. Esto se manifiesta por la presencia de múltiplos como 3, 4, 12 (se suele hablar de phi, pero obviamente para la vida diaria es mejor usar 1+1/2 que la proporción áurea). Por otro lado, nuestro cuerpo tiene simetrías,  o paridades, por lo que la proporción 2 y sus múltiplos es igualmente natural, en definitiva uniendo ambos tenemos múltiplos de 3 y 2. Es así como formamos el sistema sexagesimal derivado, según parece, de la anatomía de la mano: contando las 3 falanges del dedo,  por 4 dedos de un palmo, que son 12;  por 5 dedos de la otra mano-que suma las docenas-, dan el total de 60.

            Sería más atrevido especular sobre la presencia en los patrones tradicionales de la medida de la Tierra, por la relación con el metro. En primer lugar  puedo mencionar la toesa, la medida francesa con la que se mide por primera vez la  Tierra, de valor  muy cercana a 2 metros y equivalente a 2 brazas, 4 codos o la altura del hombre; pero una que desconcertó a algunos científicos napoleónicos al llegar a Egipto fue el patrón con que se construyeron las pirámides. Así se establece una relación del codo real egipcio (cr) con el metro muy curiosa, en la que parece entrar en juego el sistema decimal y sexagesimal, pues un 1/6 del arco de una circunferencia de  1 m de diámetro es equivalente a la medida del codo real (cr).

Esto es en nuestro SMD  cr = π/6

Supongamos nuestro reloj con su división sexagesimal. El arco de una hora es para un circulo de radio 1 m, (30º),  la medida del cr.

 Esta aproximación hace un cr=0,523598776; prácticamente el valor obtenido como más preciso para las primeras pirámides como cr=0.5236

Será un tema para profundizar, más adelante.

            La cercanía en la proporcionalidad de la medida terrestre y patrones antiguos como la yarda y toesa, es solamente una especulación. Mientras que, en mi opinión, la hipótesis de un patrón  humano y otro terráqueo, no son excluyentes. Resulta evidente que el sistema de medidas obedece al canon humano; por tanto, en un principio debió tomarse un modelo humano arbitrario; pero creo que, en cuanto se alcanzó la suficiente capacidad matemática se utilizó la Tierra como modelo para el patrón. En este sentido el valor del patrón vendría definido por el sistema numérico usado -probablemente sexagesimal- y su proximidad a la medida humana.  Este ajuste se ha realizado también con el metro, primero proporcionado al meridiano terrestre para finalmente acabar por hacerlo con la velocidad de la luz.

            En este sentido recuerdo que al crear el metro se elige un sistema decimal. Aparentemente debió de ser la parte más aceptable del sistema, pues es muy sencillo expresar los múltiplos y submúltiplos como potencias de 10. Sin embargo algunos autores piensan que no, al contrario fue la parte que tuvo más reticencias frente a la costumbre del antiguo sistema. Probablemente la medida del nuevo patrón era bastante asimilable por su cercanía con las medidas usadas, como la yarda inglesa, la toesa francesa (casi 2 m)  o la vara castellana (3.5 varas casi 1 m).

            Podría argüirse que la correspondencia de estas medidas al metro, lo son por estar derivadas de una medida anterior de la Tierra. O que obedezcan únicamente a que la elección del metro se realizó teniendo en cuenta esta cercanía, pues podría haberse tomado de otra forma, como una parte decimal del ecuador, por ejemplo. Sin embargo, hay motivos prácticos para elegir el meridiano,  como explicaré si tengo ocasión, a finales del siglo XVIII  medir la latitud era algo cotidiano para la navegación, no así la longitud que resultaba muy imprecisa.

            Obviamente un metro que fuese a la vez una proporción decimal de la Tierra y del hombre podría ser el actual patrón del SMD pero llevaría al canon humano  a los  2 m de talla o distancia entre los extremos de los brazos extendidos en cruz. Sería un ideal humano bastante alto, especialmente para la antigüedad.

            Siendo así que el canon original propuesto mayoritariamente es más discreto, por ejemplo un hombre de codo de 6 palmos y dedo igual a 1.87 cm mediría 24*1.87*4=179.52 cm. En este sentido este hombre conforme al canon del  HV tendría un codo extendido un palmo (6+1) igual al cr. Me resulta difícil establecer este patrón universalmente si no fuese derivado de la medida de la Tierra, no de la altura de un hombre.

Volvamos a π,Φ ¿Es cierto que están “escondidos” en la geometría de la Gran Pirámide de Keops?

De lo que sabemos, los egipcios no conocían los números irracionales[v], aquellos que no pueden representarse de la forma a/b. En particular  no aparece referencia en sus papiros a "pi" y, sin embargo,  muchos se atreven a decir que si dividimos el perímetro y el doble de la altura obtenemos el “pi” encerrado en la gran pirámide:

π ≈ 1760 / 560 = 22/7 = 3,14285714285714

            Esta aproximación sería mejor que la usada en los problemas de los escribas, como una relación entre la superficie de una circunferencia y la de un cuadrado como 8/9. Lo sorprendente de todo esto es que incluso 22/7 es de una pobre precisión comparada con la precisión que muestra  la arquitectura de la Gran Pirámide (recuerden la diferencia mínima entre los lados de la base o las medidas de la cámara real).

         Cuesta admitir sin más, con este  enunciado tan simple, el conocimiento de pi, sería tan absurdo como decir que los egipcios conocían pi puesto que sus carros tenían ruedas redondas, ya que dividendo el perímetro de la rueda entre el ancho -diámetro- aparece pi.

            Pero sigamos el juego de las coincidencias. Una supuesta justificación de esta relación se encuentra en que presumiblemente el arquitecto intentó plasmar el "juego" de la cuadratura del circulo[vi]. En realidad, lo que vendría a expresarse es que el circulo con radio igual a la altura tendría una longitud similar al perímetro del cuadrado de la base.  Obviamente esto se debe al hecho de elegir una pendiente determinada que, según hemos visto,  obedece a un sequed 22; luego, esta sorprendente particularidad aparece en todas las otras pirámides con este sequed, debiendo ser mera coincidencia, de lo contrario habría que suponer que la proporción 22/7 se definió como aproximación racional a pi, previo al sistema de medidas egipcios, que derivaría de ello ( lo sé, no tiene pies ni cabeza).

Así la relación entre el cr y su submúltiplo el palmo sería:

22 palmos es 22/7=3,14 cr

Sea una circunferencia de 22 palmos, su  diámetro sería pi. 

Sea un circulo de 3.14 cr, su diámetro seria  cr.

Dejemos de momento en suspense la aparición de pi, y vayamos a phi

Antes comenté que el sequed de 21 era el más usado, es el de la pirámide de Kefrén, entre otras.  Se dice que su uso obedece al triángulo pitagórico o triangulo sagrado egipcio, 3-4-5. Esto es, un triángulo en progresión aritmética.

Para kefren 205 (mitad del lado) -275 (altura)-343 (apotema cara) (en Cr)
Puesto que 205/3=275/4=343/5

No tiene nada de extraordinario, dado que este triángulo era de uso común en el Antiguo Egipto para formar ángulos rectos. Salvo por un pequeño detalle, el sequed.
Ciertamente esta propiedad solo aparece con una precisa pendiente de la cara de la pirámide, la hipotenusa de nuestro triángulo.

En la web Gaussianos encontré un estudio de los triángulos de este tipo, los llamados triángulos pitagóricos.

Es decir, el problema que consiste en encontrar tres números enteros positivos x, y, z que cumplan que  x²+y²=z². A cada terna de números enteros positivos que cumplan esta ecuación la llamaremos terna pitagórica. Todo triángulo que cumpla esta relación con sus tres lados números enteros positivos se denomina triángulo pitagórico.

El teorema de Pitágoras  nos permite encontrar el tercer número z que cumpla esa ecuación, pero no podemos asegurar que ese  z sea también entero positivo. Podría ser racional o incluso irracional. En este post vemos un método para encontrar todas las ternas pitagóricas, denominado método analítico, y la demostración del mismo.

Cada terna pitagórica primitiva puede construirse a partir de dos números enteros positivos p y q primos relativos, de distinta paridad y con p > q de la siguiente forma:

(2pq, p²-q², p²+q²)
Obviamente 3-4-5 es la primera de estas ternas.
https://www.gaussianos.com/como-contruir-triangulos-pitagoricos/

¿Es posible superar esto? Supongamos que en lugar de usar una terna en progresión aritmética es en progresión geométrica. En las pirámides de sequed 22 como Keops, tenemos una pendiente  con la que nos acercamos mucho a una progresión geométrica de razón phi. Un triángulo muy particular, llamado triángulo de Price.

El único triángulo rectángulo que cumple c₁/c₂= c₂/h, siendo c_1,c₂ los catetos menor y mayor y h la hipotenusa. Esto es:
1/√Φ=√Φ /Φ

Es aquí donde nos topamos con la ínclita divina proporción.

            Ya desde la antigüedad (periodo helenístico) existía la creencia de que las proporciones de la Gran pirámide estaban relacionadas con la proporción áurea, algo que tampoco debe extrañar pues todos los grandes arquitectos de la antigüedad clásica la usaron. Según el historiador Heródoto, los Egipcios construyeron ésta de tal forma que el área de cada una de las caras triangulares laterales coincidiera con el área de un cuadrado de lado igual a la altura, o dicho de otro modo la proporción entre la apotema (altura de una cara) y el lado es φ/2. Esto se cumple únicamente si el triángulo rectángulo formado por la altura y apotema para un lado de la pirámide igual a 2, la altura es √φ y la apotema φ.

El constructor Hemiunu pudo muy bien elegir unas determinadas proporciones de la obra si pensaba en esta proporción.

El sequed 22 lo forma el angulo  51º50'34'' cuya tangente es 1,2727272727... Observemos que este número elevado al cuadrado es 1,6198347107438.

Por definición phi es =(1+√5)/2= 1,61803398874989

Para una coincidencia exacta el ángulo debería de ser 51º49' 38,2525427559221''.

            La proporción 22/28 del sequed pudiera parecer una casualidad en las pirámides de Nyuserra y Huny, pero no en Keops. Con esta pendiente y un lado cualquiera no aparece una relación  entera  con la altura en cr, salvo en la Gran Pirámide.

Nyuserra de lado 150 cr y altura =  (150/2)*28/22=96,0909090909091 cr

Huny de lado 275 cr y altura= (275/2)*28/22= 108,035714285714 cr

Mientras que  la altura en la pirámide de keops es exactamente 280 cr. 

Hay una clara  intencionalidad  de que el lado fuese multiplo de 22 para que de igual forma la altura sea multiplo de 28.

La pendiente de la cara es 280/220 ó 14/11

14/11=1.27272727... ≈ √Φ

Con una aproximación bastante buena, √Φ=1,27201964...

Precisión de un 0,055 % de error relativo. Lo que me dejó perplejo, ¿es realmente una casualidad?

Es que el triángulo rectángulo formado por la apotema, con la altura y el semi-lado está casi en progresión geométrica de phi. Únicamente hay un triángulo con esta progresión y se le llama triangulo de Kepler.

1 : φ½ : φ

1 : φ : φ² obviamente φ² = φ +1 si φ² = ( φ½)² + (1)²

Volviendo a la supuesta presencia de pi, podemos concluir que la aproximación se debe a que

4/√φ ≈ 22/7 =3,14285714285714 ≈π, como ya vimos.

            Por tanto, parece evidente que Hemiunu intencionadamente formó el triángulo de Kepler no así pi. Resulta por tanto descartable la intencionalidad del sequed para obtener una proporción cercana a pi, es casual, no obstante es de una imprecisión 4 veces superior a la de las medidas de la cámara del rey.

            Pero esto nos obliga a considerar que  algo más que la pendiente debió de tenerse en cuenta. La pendiente es una propiedad geométrica y por tanto independiente del sistema de medidas, no así el sequed. Que depende de la proporción del codo real egipcio y su submúltiplo (22 dedos o 5,5 palmos).  Supongamos que en lugar de utilizarse el Cr se usara el común Cn.   Es fácil comprobar como no obtendremos una proporción 14/11, las más cercana sería 24/19=1,263158. Con un error relativo de 0,7%.

Es ese palmo extra que hace al cr divisor de 7 el que permite ,junto con el divisor 4 del dedo, la gran precisión de √Φ.
Sentí curiosidad y decidí investigar más sobre el posible origen de este sistema de medidas egipcio.
Será en la próxima entrada.



Notas:

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[i] También llamado Dyeser. Advierto que en adelante igualmente pasa con muchos nombres de faraones que aparecen en la bibliografía de forma distinta, como ocurre con el propio Keops que es una trascripción griega de otras denominaciones castellanizadas como Jufu. Ténganlo en cuenta en adelante, pues no creo que valga la pena estar repitiendo los distintos nombres.

[ii] Se utilizan frecuentemente las mediciones del egiptólogo británico Sir William Matthew Flinders Petrie que fueron tomadas en pulgadas. ¿Creen que una pulgada (inch) son 2.54 cm? Si fuese cierto significaría que la unidad m del sistema métrico fue tomada a partir de la pulgada anglosajona. Lo que es absurdo. Pues tomando dos medidas al azar en la naturaleza, tomando una como patrón la otra tendría una medida infinitamente decimal. Esto no es cierto, la pulgada como patrón no ha sido una medida fija y es arbitraria, mientras solamente en la actualidad por motivos prácticos se usa la conversión exacta.

Es más, existe una diferencia entre las pulgadas en Europa y América.

En Europa = 2.539998 centímetros.

En América = 2.54000508 centímetros.

[iii] El Papiro Matemático Rhind (RMP) es el libro de texto más antiguo de su tipo en el mundo. Se trata de una copia realizada por el escriba Ahmose en el siglo XVI a.C, que fue encontrado en Tebas en la década de 1850; el original se remontaría a la época de los grandes constructores de pirámides. Fue comprado en Luxor por Alexander Henry Rhind, adquirido finalmente por el Museo Británico en 1865. El anverso de Bm 10057 está en exhibición permanente detrás vidrio en la tercera sala egipcia.

[iv] En realidad el codo real comienza teniendo un valor cercano a 0.524 en las primeras pirámides. Inexplicablemente  el patrón  irá alargándose  de forma progresiva con el paso de los siglos hasta pasar de 0.528.

[v] Los egipcios tenían un dominio de los número racionales aunque únicamente podían expresarse con sumas de fracciones con la unidad como numerador o a lo sumo con la fracción 2/3 y más tardíamente con la expresión 3/4. Sin embargo se cree que no conocían los número irracionales y por tanto no conocían pi, aunque podían calcular la longitud de la circunferencia o su área mediante un método de aproximación.

Las fuentes matemáticas son documentos del imperio medio, no tenemos por tanto de la época en que se construyeron las grandes pirámides. El principal documento es el conocido como papiro Rhind, que fue una copia del siglo XVI a.C. de un texto anterior del siglo XIX a.C.

[vi] En realidad la cuadratura del circulo es un antiguo rompecabezas que parte de la imposibilidad de  demostrar que con  la regla y el compás que se pueda construir  un cuadrado que tenga la misma área que un círculo dado previamente. Esto es debido a que no puede obtenerse como solución de una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean números enteros, esto es, no es un número algebraico sino trascendente.

LAS MATEMÁTICAS DE LOS CONSTRUCTORES DE LAS PIRÁMIDES

Hace 4.500 años, mientras los primeros pueblos de Europa -y otras partes del mundo-  levantaban toscas construcciones de piedra, en una planicie junto al delta del Nilo resplandecía un conjunto arquitectónico sin parangón en grandiosidad y refinada terminación en donde sobresalían tres grandes pirámides como muestra imperdurable de la más antigua y longeva de todas las civilizaciones.

Detalle del papiro matemático Rhind (Wikipedia)

A la luz del conocimiento moderno, ingenieros y arquitectos reconocen su desconcierto; lo que ha dejado el campo abierto a múltiples especulaciones y un destacado corolario: o ellos eran más listos o nosotros somos más tontos. Creo que hay evidencias que demuestran que ambas cuestiones son ciertas.

Estas construcciones son sólo la parte más llamativa del legado del antiguo Egipto, civilización tan fundamental para la historia de Occidente como injustamente reconocida; siendo así que se menosprecia la capacidad de aquellos pobladores del valle del Nilo, diluyendo su importante contribución cultural cuando se adjudica a la civilización helena la invención de casi todo el conocimiento antiguo.

Actualmente este desprecio hacia las capacidades de los antiguos habitantes del Valle del Nilo se hace particularmente patente al atribuirse orígenes exógenos a la más impresionante de todas sus obras. En la Gran Pirámide de Keops, se enfatiza el nivel técnico necesario para trabajar la piedra sin que parezca igualmente grande el que un pueblo se organizara para alcanzar semejante hazaña. Si creemos a Heródoto (el mismo que asegura que el propio Keops prostituyó a su hija para financiar la obra), la pirámide se realizó en solamente veinte años, algo que se ha admitido necesariamente para que tenga sentido la hipótesis de tumba del faraón reinante.

Para ponerse en situación acepte -salvando su escepticismo- la capacidad para trabajar y modelar la piedra -según la versión aceptada- con herramientas de cobre, piedra y esmeril (arena de sílice y tal vez corindón). Y ahora, medite sobre los rendimientos de las demostraciones realizadas y aplíquelo para el conjunto de la obra. Entonces se dará cuenta que ninguna de las explicaciones resuelve ¡cómo demonios pudieron tallar, transportar y colocar con precisión absoluta todos los enormes bloques de una pirámide como la de Keops en sólo 20 años!

Esto viene a suponer una media de ¡Un bloque cada 2 minutos sin descanso, cada día, durante 20 años!⁽¹⁾

Ninguna de las teorías con rampas, trineos y demás,  nos permiten explicar este ritmo. Ni nos acerca a la increíble demostración de fe y voluntad de alcanzar la perfección. Siendo así que la creencia popular sigue pensando que los constructores fueron esclavos. No es cierto. Los obreros eran campesinos que no podían dejar su ocupación mucho tiempo, de ello dependía el mantenimiento de todo el reino, es de suponer que el grueso de la mano de obra únicamente podía estar disponibles para trabajar en un lapso de tiempo entre cosechas que coincidía con la inundación del Nilo. Además, toda la logística para mantener la producción de las canteras, de las minas, el transporte y colocación de las piedras, así como asegurar el mínimo bienestar de los obreros requería de una organización descomunal. Y es que viendo el resultado final, no nos puede quedar la menor duda de que nada quedó improvisado, o estaríamos hablando de obras que tardarían siglos en terminarse o hubiesen quedado inacabadas. En este sentido me pregunto por qué, habiendo tanto interés en demostrar la técnica usada no ocurre igual con la logística y organización asombrosa.

            Las capacidades extraordinarias del pueblo egipcio no aparecen ni acaban con la Gran Pirámide, están presentes por todo el bajo valle del gran río y evolucionan desde la III dinastía hasta alcanzar pronto su apogeo al comienzo de la IV dinastía, para luego decaer con el imperio medio, no tanto por una decadencia técnica y del arte, simplemente se prefiere el enterramiento hipogeo (excavado en la roca).

            Las pirámides no aparecieron de la nada o caídas del cielo, ya en la edad de piedra los antepasados de los constructores de pirámides tallaban la piedra en el desierto Líbico⁽²⁾. Esta mejora de la técnica no era suficiente, fue necesaria la figura de un hombre genial para dar un paso gigantesco y ocurrió durante la III dinastía, cuando se crea un revolucionario concepto del conjunto funerario. Se llamaba Imhotep, probablemente el primer sabio de la historia, no solo era el arquitecto real, asumía los principales cargos oficiales como el de sumo sacerdote (Gran  Sacerdote  de  Heliópolis) y canciller, su leyenda trascendió hasta convertirse en un dios de la medicina; pero a lo que aquí nos interesa fue un  experto en ingeniería,  astronomía y por ende de las matemáticas. ¿Estaríamos ante el primer gran científico? Si fuese así, quiero pensar que no estuvo solo. Nuestra sociedad tiende a simplificar los grandes avances atribuyendo a una sola persona todo el mérito. El mismo Newton reconocía que caminaba a “lomos de gigantes”, en alusión a la herencia recibida, la propia del conocimiento científico, que según nuestra experiencia no se pierde  (al menos desde que la ciencia es ciencia), no así el genio que difícilmente pasa incluso de padres a hijos. No puedo por tanto creer que la revolución posterior a Imhotep sea cosa de un hombre, aunque fuese genial. Ahora bien, lo que tenemos claro es que Imhotep fue el supervisor de las obras, el encargado de organizar los trabajos, de planificar en suma, y luego verificar su cumplimiento: cronograma, gastos, formación, recursos humanos, necesidades de materiales, intendencia y –además- motivar a los trabajadores. Así ocurrirá con todos los constructores de pirámides desde la III dinastía, en su función de ingeniero director de una obra de tanta envergadura, un trabajo en equipo riguroso y coordinado por el que siento gran admiración.

           

            Antes de las pirámides, los enterramientos reales se realizaban en construcciones de adobe o piedra llamadas mastabas, nombre que en árabe significa "banco" pues tenían una forma sencilla de edificio de planta rectangular y techumbre plana pero con las caras inclinadas para asegurar su solidez, esto es, un tronco piramidal; por eso se dice que el origen de la pirámide es una superposición de mastabas. Las  pirámides  clásicas  de  Giza,  de  la  IV dinastía  surgen  tras  una  sorprendentemente rápida evolución. Se cree que la más antigua es la  pirámide  escalonada  del  faraón Zóser  en Saqqara, obra de Imhotep,  que  resulta  de  la  superposición  de  seis  mastabas de planta rectangular.  Pero si atribuimos a Imhotep el concepto de pirámide aún había que darle forma perfecta y esto no ocurre hasta poco tiempo después con el rey Esnofru, padre de Keops. Si la obra de Keops nos parece sorprendente, esperen a ver lo que hizo su padre que construyó no una, sino tres pirámides (¿no decían que cada faraón tenía una pirámide?) lo que supuso un 40% más de movimiento de piedras que la Gran Pirámide. Visto en conjunto, podría pensarse que no paró de construir hasta obtener la pirámide perfecta, pues la primera parece que fue comenzada a construir por Huny, se acabó con un revestimiento de caras lisas que no fue muy duradero.  La siguiente pirámide llamada acodada o romboidal se construyó en Dashur y tiene las caras que comienzan con una inclinación de 60º y a partir de los 47 metros de altura cambia la pendiente a 43º.  Esta es la injustamente calificada pirámide "chapuza",  por que se ha entendido que el cambio de pendiente fue una rectificación, yo no estoy tan seguro (los primeros aviones eran biplanos ¿los podemos calificar como chapuza aeronáutica por el hecho que no tuviesen un único plano?). En todo caso, para ser una "chapuza" es una pirámide colosal que ha resistido mucho mejor que la mayoría el paso del tiempo, siendo con sus 188 m solamente superada por las dos mayores pirámides de Giza; y la llamada "Pirámide Roja", la  última pirámide construida por Seneferu en Dashur es en sí misma una obra increíble, solamente superada por la de Keops en tamaño (solamente 10 m menos de lado) y junto con la de Kefrén constituyen el cenit de perfección en la construcción de pirámides.

            Antes de analizar en la próxima entrada la geometría de las pirámides conviene situarse en cuál fue el nivel de las matemáticas de los egipcios de la IV dinastía admitido por la historia. Pensamos que las matemáticas aparecieron en Grecia, aunque las fuentes griegas -Platón o Aristóteles- nos remiten al antiguo Egipto, caso de Pitágoras que fue a formarse entre los geómetras de Egipto. De aquellos conocimientos tenemos pocas referencias escritas, principalmente algunos ejercicios como la relación del papiro Rhind, que en ningún caso muestran un autentico conocimiento matemático, su contenido solamente forma parte de la habilidades prácticas propias de funcionarios para resolver problemas habituales. No es este sentido práctico el que damos a las matemáticas como un conocimiento puro, cuando la tratamos como ciencia, no es esta la matemática de la que hablan Platón o Pitágoras y -por supuesto- no encontramos aún el rigor o pulcritud científica de un Euclides.

¿Llegaron a un conocimiento superior al del papiro Rhind? Se ha desdeñado el alcance del conocimiento matemático egipcio, diciendo que era de nivel de un escolar. ¿Acaso lo que nos ha quedado no es un texto escolar?

            Dado que las únicas fuentes que tenemos son algo más que un par de papiros ⁽³⁾  con resolución de problemas para el aprendizaje de funcionarios, deberíamos dejar abierta la posibilidad de un superior conocimiento matemático en el antiguo Egipto. En este sentido, las matemáticas coetáneas babilónicas (de las que sí tenemos miles de tablillas de arcilla) son un referente del posible nivel adquirido por los constructores de las grandes pirámides;  aunque, viene a admitirse que el sistema sexagesimal posicional -que presentaba una gran ventaja- no pasó a Egipto, pero es que tampoco al mundo Griego hasta que en el mundo helenístico se funden los conocimientos; siendo Hiparco de Nicea -en el siglo II antes de nuestra era-  el que primero aproveche las ventajas de este sistema para crear la trigonometría,  la longitud y latitud geográficas; lo hará Ptolomeo⁽⁴⁾ -posteriormente- mientras que Eratóstenes, siendo Bibliotecario de Alejandría, parece ignorar el sistema sexagesimal.

            Todo ello me lleva a suponer que el origen de este sistema estaba ligado al conocimiento astronómico con fines religioso, propio de una casta superior de sacerdotes o funcionarios. Y no pudo darse el avance posterior de las matemáticas hasta que se democratiza su conocimiento, en definitiva hasta que pasa de ser un conocimiento reservado - ligado  al misticismo y la religión- a una ciencia teórica o aplicada. Es más, pudo desvirtuarse  tal parece que ocurrió en Babilonia durante el periodo caldeo, si hubo un riguroso conocimiento matemático decayó envuelto en supersticiones como la cábala o la astrología.

            Podemos trasladar a Egipto este planteamiento. No hay otra forma de resolver la incoherencia de adjudicar a unos arquitectos, ingenieros y topógrafos sumamente eficaces y perfeccionistas el uso de una matemática egipcia tan poco precisa como la que nos ha llegado. No obstante, sabemos que los egipcios no tenían una expresión para designar al conocimiento matemático, como si lo tenían para la medicina (swnw) o la astronomía (wnwty) de tal modo que el manuscrito Rhind comienza de la siguiente manera: "Método correcto de descender en las cosas conociendo todo lo que está oculto y todas las cosas misteriosas". Teniendo en cuenta que se trata de una copia, debemos interpretarlo como la valoración personal de admiración - y orgullo- del copista hacía un instrumento que sabía manejar pero no entendía como funcionaba.

  

            Las matemáticas aparecieron igualmente en Mesopotamia y Egipto, de forma separada, creando métodos para resolver muchos problemas de cálculo que no se modificarán en gran medida durante milenios hasta la llegada de la notación indo-arábiga posicional  (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0).  Ya suponían una gran dificultad para griegos y romanos las operaciones básicas, realizadas usando letras del alfabeto como números, se expresaban aditivamente y no como nuestro sistema posicional. Por ejemplo el número 733 requiere de únicamente tres signos para expresarse, en el sistema egipcio hacen falta "13", 7 signos que representaran los cientos, tres para representar las decenas y el signo en hierático para 3 (tres veces el signo I).

Sin embargo los babilonios tenían una ventaja con su sistema sexagesimal que no nos han enseñado en la escuela. Para empezar podían manejar grandes cantidades o muy pequeñas con gran ahorro de signos, lo que no es una ventaja menor, y tenían signos específicos para los números del uno al 60 con su sistema cuneiforme. Pero, lo más importante, tenían un sistema posicional con coma -sexagesimal- y hueco como equivalente al cero. Probablemente la extensión del uso del ábaco hizo que se menospreciará este avance. Así, cuando Fibonacci introduce en occidente el "sistema indo-arábigo" a principios del s. XIII, continúa usando las fracciones de numerador uno (al estilo egipcio), un engorro que hace que muchos matemáticos sean reticentes al cambio y prefieran usar el  antiquísimo sistema babilónico. Nuestro sistema decimal no será como lo conocemos hasta que en el siglo XVI el holandés Stevin crea los decimales y lo hace planteándose las ventajas de un método como el babilónico, pero sin el engorro de una base 60.

Las matemáticas se dice que surgieron con las necesidades de llevar la contabilidad y también con la predicción de las estaciones o incluso de fenómenos del firmamento como eclipses. En el caso egipcio, en primer lugar la predicción de las crecidas del Nilo basadas en un calendario ya formulado en la cultura anterior del desierto⁽⁵⁾; pero igualmente por sus consecuencias, ya que sin el conocimiento de geometría no hubiese sido posible restituir las lindes de las fincas tras la crecida, que hubiese creado un permanente conflicto para la permanencia de un campesinado base de la civilización egipcia que -repetimos- no fueron esclavos.

De las fuentes históricas se deduce que los egipcios desconocían los números irracionales e incluso los negativos, usaban números racionales positivos que expresaban como fracciones de numerador uno, por lo que el sistema de numeración podía ser un poco farragoso para expresar ciertas fracciones como suma de una serie de fracciones con numerador la unidad. Aparte de fracciones con numerador la unidad tipo 1/n, usaban la fracción 2/3, importante en sus cálculos.

Como el método era muy complejo se hizo necesaria la creación de tablas de fracciones a modo de nuestra “tabla de multiplicar”, una trivial de 1/n, siendo la más usada la 2/n y también una de 2/3*1/n.

Este concepto matemático egipcio tiene un claro inconveniente al alargar la expresión de ciertas fracciones como suma de varias, pero también tiene ventajas prácticas. Pensemos como dividir 5 hogazas de pan entre un grupo de 8 personas y de igual forma 4 entre un grupo de 7.

¿Cual de los dos grupos recibirá más pan?

La notación egipcia sería

5/8 =1/2+1/8

4/7=1/2+1/14

Observen como el escriba puede saber inmediatamente que el primer grupo recibirá más pan, esto no parece tan evidente sin hacer la división decimal.

El cálculo moderno nos llevaría a dividir cada hogaza en ocho partes y de estas 40 piezas repartiríamos  5 partes a cada persona.

El egipcio lo haría de la siguiente forma, 5/8 sería para él 1/2+1/8.  No tiene ya que hacer  cálculos para el reparto. Por tanto partiría los 5 panes por la mitad  y daría así medio pan a cada trabajador restándole dos mitades. Estas las dividiría por la mitad  dos veces para hacerlos cuartos y finalmente octavos de hogaza. En el otro grupo dividiría los panes por la mitad para entregar a cada uno esta parte y la mitad restante la partiría en 7 partes iguales. De forma meramente práctica, este reparto parece más equitativo pues tiene menos "error" al haber menos cortes.

Esta forma de operar parece buena para un funcionario, pero no para un matemático. Es de destacar que no evolucionó en 3.000 años hasta la llegada de la matemática griega. Por lo que, si admitimos sin más que es este el nivel de las matemáticas egipcias, estamos igualmente admitiendo que hubo en un desconocido y lejano pasado un desarrollo de las matemáticas  que explique, por ejemplo, la resolución de problemas como el cálculo del volumen del tronco de pirámide. En todo caso lo que nos llega (papiros como el de Rhind) es una copia,  transmitida como otra más de las tradiciones ancestrales del pueblo egipcio.

Sorprendentemente desconocemos el origen de esta forma de operar, es como si no hubiese tenido un desarrollo posterior al reino antiguo,  tanto que fue paulatinamente perdiéndose rigor. Mientras que las primeras fuentes, en los problemas de resolución ligados a formas circulares o de revolución usan una precisión de 3,16 equivalente a pi⁽⁵⁾; finalmente, antes de entrar en Egipto el mundo helenístico, se conforman con tomar la relación entre la longitud de la circunferencia y el diámetro como 3. Esta  correlación entre la perfección de las grandes pirámides y la precisión matemática no nos debe engañar en lo referente a pi. Sería erróneo inferir de estos problemas que los egipcios conocían π. Esto es tanto como suponer que, efectivamente hubo un conocimiento matemático científico, otorgándole algunas de las cualidades que aparecerán en el mundo griego como la demostración empírica, o el razonamiento axiomático deductivo. No tenemos noticia de nada de esto, aunque tampoco podemos estar seguros que sí, que lo hubo y luego no nos hubiera llegado. ¿Acaso una herramienta creada conscientemente que pasa de mano en mano y luego ya nadie entiende como se construyó?

Un concepto que aparece en la arquitectura egipcia -ver LA GEOMETRÍA Y LOS CIMIENTOS DEL CONOCIMIENTO- persistirá en toda la antigüedad. Es el concepto de proporción o "logos" como lo llamaban los antiguos griegos.  En el que el número no es una medida, es una relación, como puede ser una razón de proporcionalidad. Durante milenios se repite en los templos, como catedrales o el mismo Escorial. Miren un ejemplo relacionado con "la resolución del tronco de pirámide" aplicado a la Gran Pirámide.

Cuando la relación se establece entre superficies, el valor de la razón se eleva al cuadrado.

La Cámara Real de la pirámide de Keops está construida a un nivel del suelo en el que un plano paralelo a la base cortaría una superficie (b²) que es la mitad del área de la base (B²).

Esto no es casual, luego el constructor -Hemiunu- conocía la relación: 

 

Esto es, el lado de la base de la Gran Pirámide es  √2 veces el que correspondería a la base en la que se encuentra la cámara funeraria del rey, el mismo valor que se obtiene al calcular la relación de la diagonal (d) de dicha superficie con respecto a su lado (l).

  Siguiendo el teorema de Pitágoras

d²= l²+ l²=2 l²  

Se estarán preguntado cómo es posible que digamos que utilizaron en sus medidas un numero irracional como  √2, si no conocían los número irracionales⁽⁶⁾. De hecho, claro que conocían √2, y el teorema de Pitágoras (de donde se deduce), pero además su uso en la proporción no debería de extrañarles, durante la Edad Media los templos se construyeron frecuentemente con una proporcionalidad de √2, √3,  e incluso la √5, íntimamente relacionada con la proporción áurea y el número Φ. El uso de estos números obedece a la facilidad de trasladarse geométricamente con compás, no nos debe de engañar el hecho que sean irracionales.

Resulta difícil de entender que los grandes constructores como Imhotep o Hemiunu solo dispusiesen del pobre "material escolar" encontrado, cuando sus coetáneos babilónicos tenían una herramienta más precisa. Y es que el sistema sexagesimal no era una mera alternativa al más natural "decimal" para el uso en la vida cotidiana, de hecho los nombres de lo números en sumerio o acadio respondían, como en otras culturas, a una numeración decimal. Es una necesidad posterior  a la del mero cálculo cotidiano la que crea el sistema sexagesimal como herramienta fundamental para obtener medidas precisas muy grandes o pequeñas, precisión necesaria para la astronomía, la medida angular y del tiempo, por eso lo seguimos usando. Por tanto, el sistema sexagesimal se crea como herramienta científica; como curiosamente lo es actualmente en topografía y geodesia, algo que debió interesarles mucho a los babilonios ¿acaso no, tanto o más, a los egipcios de aquella época?

Entremos a explicar estas ventajas del sistema sexagesimal. Aunque su uso se mantuviese para el estudio científico pudo comenzar a usarse por simples motivos prácticos. Así se suele admitir que encontraron una forma de contar cantidades superiores a 10 con los dedos usando las falanges. De tal modo que con la mano izquierda podían contarse hasta 12,  3 falanges por 4 dedos, usando el pulgar como puntero. En algún momento pensaron que la mano derecha podía llevar la cuenta de estas docenas, hasta 5.  De ahí 5 x 12 = 60.

           

Hay  también una hipótesis relacionada con la medida del tiempo, pues partiendo del mes lunar hicieron un año de 360 días, esto es 12 meses de 30 días. De aquí la división del día en 12 horas y la noche en otras 12 horas. Esta explicación  es atractiva, aunque parte de una error aparente, el año de solo 360 días. Sin embargo no resulta tan extraño que estos grandes astrónomos prefirieran mantener la integridad del modelo matemático y lunar, con el oportuno cuadre posterior (añadir los días que faltaban) cuando comenzaron a usar el año solar.  Pues este descuadre es finalmente inevitable, lo tenemos también  en nuestro calendario solar, que requiere igualmente de un reajuste cada 4 años, añadiendo un día en febrero.

El sistema sexagesimal usaba un sistema posicional parecido al nuestro, en el que nuestro cero es un hueco, podían escribir así con gran ahorro de signos y espacio números muy grandes como potencias de 60. Pero su gran logro fue usar algo parecido a nuestra coma decimal, con lo que podían manejar cifras con una gran precisión, mediante las mismas potencias negativas.

De otro modo

606	605	604	603	602	601	600
60*60*60*60*60*60	60*60*60*60*60	60*60*60*60	60*60*60	60*60	60	1

por ejemplo 2019, seria

33, 39

33*60=1980

39*60⁰=39

1980+39=2019

Las posiciones  menores de la unidad se separaban con el equivalente a nuestra coma, que representamos como  punto y coma (;).

Según Ian Stewart  en su "Historia de las matemáticas en los últimos 10.000 años"  tenemos tablillas astronómicas muy precisas como en la que aparece el calculo del periodo orbital de Marte, tiempo transcurrido en repetir la misma posición en el cielo,  como  12, 59; 57, 17 días, aproximadamente 799,954722 días. El valor actual es de 799,936 días ó en sexagesimal

12, 59; 57, 13 días.

Con solo tres posiciones sexagesimales por debajo de la unidad, como aparecen en  algunas tablillas de contenido astronómico, la precisión es muy alta. Por ejemplo en una tablilla de un estudio sobre Júpiter encontramos:

0; 0, 45, 18

En decimal 0,012583333... Por tanto, para conseguir la misma precisión hemos de poner, en lugar de tres posiciones sexagesimales al menos seis decimales señalando la periodicidad.

Ahora comparemos esta forma de precisar números decimales con la egipcia, supongamos una cantidad irracional y por tanto con infinitos decimales. Sea pi, π=3,141592 (Nota: es un ejemplo, se dice que para los babilonios pi era 3+1/8)

Hemos escrito este número con una precisión de 6 decimales. Ahora vemos como alcanzamos esta precisión con una cifra sexagesimal.

La forma más sencilla para el babilónico sería hacer una tabla con cifras sexagesimales del tipo n/60.  Encontraría que la que más se acerca es 8/60 = 0,133333, lo que nos da un resto de 0,008258. Luego buscamos en la tabla n/3600 y encontramos 29/3600 que es 0,008055. Después podemos buscar una última cifra con la tabla n/ 216000 y podemos usar 43/216000 por defecto (para poder seguir aproximando con otra posición sexagesimal) pero teniendo en cuenta que estamos ante un irracional -decimales infinitos-  deberíamos usar 44/2160000 = 0,0002037 más precisa.

            Luego 3; 8, 29, 44 como valor decimal de  3,1415926. El error respecto a la cantidad inicial es de 0,0000006. Aunque al ser un número de infinitos decimales el error real sobre pi es menor ya que π con más precisión es 3,141592654. Curiosamente resulta una precisión total de 7 decimales para usar tres posiciones sexagesimales.

            Como vemos al babilónico no le costaría mucho hacer estos cálculos, pues estas tablas n/60, n/60*60, y n/60*60*60 les seria de uso común para valores inferiores a 60.

Ahora veamos al escriba egipcio calculando el número que más se aproxime a 3,141592.

Haría algo parecido con sus tablas 1/n.

Primeramente encontraría sin dificultad una primera aproximación como 1/8 y luego otra como 1/61.

 3+1/8+1/61=3, 141393

La dificultad llega ahora. Yo con una tabla excel encuentro rápidamente 1/4923 como la solución más precisa, esto supone hacer muchas divisiones 1/n de tanteo.  El valor final sería

3+1/8+1/61+1/4923= 3,141596570796829.

 Sin alcanzar aún la precisión de 6 decimales  buscada, sería 3,141596.

            Advierto que 1/4923 no seria manejado por un escriba como un número, sino como una serie de sumas de 1/2n sencillas: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64; en algún caso 2/n ó más raramente 3/2n. Aunque había algo peor y es la forma de expresar este número con los signos egipcios ¡una locura!  Les dejo que lo averigüen.

            Como dice Ian Stewart, "las fracciones provocaban grandes dolores de cabeza en Egipto". No obstante, yo me pregunto si realmente los egipcios no usaron un método más sencillo de anotar y de más precisión en cálculos que lo requerían; habiéndolo conocido, pues me resulta difícil  creer  que las dos grandes civilizaciones matemáticas de la antigüedad no llegaron a compartir su conocimiento.

           

            En este sentido hay indicios de la entrada del sistema sexagesimal en el calendario solar Egipcio que parece remontarse a una época anterior a la primera dinastía tomada por la observación de Sirio, con una curiosidad, el uso formal del año de 360 días dividido en doce partes. El año civil egipcio tenía tres estaciones de 4 meses, cada mes con tres semanas de 10 días; por tanto 360 días. Para completar el año civil de 365 días se añadieron cinco días extra llamados epagómenos del griego ἐπαγόμεναι, asociados a cinco de las grandes divinidades egipcias: Osiris, Horus, Seth, Isis y Nephtys⁽⁷⁾.

            También aparece lo que podría ser un rasgo sexagesimal en el sistema de medidas egipcio antropométrico tomado posteriormente por griegos y romanos. A la unidad fundamental se la llama "codo" y originalmente se subdivide en 6 palmos de 4 dedos. Aunque hoy tenemos plenamente asumido el SMD, todavía nos resulta familiar la subdivisión en 24, o en cuatro. La última, ha sido usada ampliamente en la moneda, mientras que 24 como 12 deriva directamente del sistema sexagesimal creado por los sumerios. Para una cultura que usaba el sistema decimal, esta división no parece casual, y según la opinión de los metrólogos de la antigüedad se trasladará a todas las civilizaciones hasta la aparición del SMD.

            En todo caso, el desconocimiento supuesto de la matemática babilónica en Egipto se da por paralelismo con el mundo heleno;  no tenemos matemáticos hasta que Alejandro Magno pone en contacto todo oriente y las tierras del Nilo. Para entonces el saber matemático tanto en Mesopotamía como en el Valle del Nilo se había apagado, o simplemente olvidado. En todo caso no se recordaba precedente en la enseñanza de la geometría que fuera más allá de la mera resolución de problemas prácticos, cuando se da un salto gigantesco que parece que comienza con Thales de Mileto y el uso de la demostración; un método abierto y objetivo, que se perfecciona  bajo los  principios de  divulgar y discutir; este será el método de la ciencia posterior.

            Si hubo algo parecido en Egipto solo queda la piedra tallada y aquí, cuidado con las apariencias. Todo el que se acerque al estudio del antiguo Egipcio que comprenda que toda  representación artística o legado cultural está en un lenguaje místico, no está representado para nuestros ojos, ni siquiera  para los ojos de aquel pueblo, sino a sus dioses⁽⁸⁾. Dicho de otra forma, es muy importando que entendamos el carácter simbólico de estas figuras y no las tomemos por lo que no es.

            No encontramos textos parecidos a los griegos ni probablemente nunca los encontremos. Simplemente podemos atribuirle esto a la ignorancia matemática,  aunque tal vez nunca pretendieron divulgar el conocimiento como sí lo hicieron los helenos. En este sentido, recuerdo como no hay un tratado de metalurgia o de ingeniería griego y sabemos que simplemente es porque, en general, los intelectuales helenos desdeñaban el conocimiento técnico. Esto no significa que no supiesen construir máquinas y producir herramientas.

            Desgraciadamente, esto nos lleva a un callejón sin salida, pues si los primeros sacerdotes-constructores mantenían un hermetismo sobre el proceso para alcanzar la inmortalidad que incluía ciertos conocimientos geométricos, podemos entender que en el momento en que el proceso se democratiza -divulga-, quizá se hubiese perdido parte del antiguo conocimiento, tal vez tergiversado tras el paso de los siglos, como decimos que pasó con la astronomía babilónica y la astrología posterior.

            Después de descifrar el contenido de la tablilla Plimton 32⁽⁹⁾, deberíamos replantearnos el nivel de la  trigonometría antigua. Es muy extraño que se admita que Eratóstenes midió el meridiano terrestre suponiendo que Alejandría y la actual Asuán estaban en el mismo meridiano, o que esta última estaba en el trópico; son errores de orientación muy groseros cuando vemos la perfecta orientación de las pirámides. El gran matemático  Eratóstenes  fue  un topógrafo chapuza comparado con los arquitectos reales de dos milenios antes y sin embargo ha pasado a la posterioridad por medir La Tierra con gran precisión.

            En todo caso es muy discutible determinar el nivel de las matemáticas de  Hemiunu, el constructor de la Gran Pirámide.  Ni él ni posteriores escribirán sobre su conocimiento, aquello que nos llega directamente lo hace tras el encuentro entre la supuesta matemática egipcia de unos sacerdotes llamados "geómetras" (literalmente los medidores de la Tierra) y la ciencia helena con los pitagóricos.  Después de dos milenios solo llegaron los rescoldos; y de este reducido conocimiento ¿qué pudo trascender de una secta hermética?

Notas:

1.- Suponemos que la cantidad de bloques que tenía la Gran Pirámide era de 2.700.000. Hagamos la siguiente operación, 20 años de 365 días.

365*20=7.300 jornadas

El número de horas laborales podrían ser las 12 - de  media-  de luz.

365*20*12= 87.600 horas de trabajo diurno.

Los minutos son 87.600*60= 5.256.000

Luego, el ritmo debió ser de 5.256.000/2.700.000=1,95 minutos por bloque colocado definitivamente.

¡Un bloque cada 2 minutos sin descanso, cada día, durante 20 años!

2.- Sería el final de la etapa húmeda del Sahara justamente antes de las primeras referencias egipcias https://es.wikipedia.org/wiki/Nabta_Playa

3.- Básicamente los llamados papiros Rhind y Moscú, hay otros textos de menor entidad como los de Kahun, Berlín, Reiner y Ajmin.

Son problemas muy fáciles de resolver actualmente, entonces no era tan sencillos, no disponían de algebra ni nuestro sistema de numeración, pero eran capaces de resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas siendo una de ellas de segundo grado.

 El primero debe su nombre al anticuario escocés Henry Rhind, se encuentra en Londres, tiene 87 problemas, data del año 1650 a.C. y  conocemos el nombre de su copista, Ahmes.

El segundo está en Moscú, data del 1.800 a.C., tiene 25 problemas  y no conocemos su autor.

Los problemas del 56-60 del papiro Rhind están dedicados al cálculo de pirámides. Pero únicamente a problemas cómo: Sea una pirámide de tantos codos de lado y tanto de sequed -pendiente- ¿cuánto mide su altura?

El Papiro Reisner I, que está dividido en 17 secciones (denominadas de la A a la Q) tiene las comprendidas entre la G y la K  dedicados a los cálculos de materiales y trabajos contabilizados como hombres-día con la división por 10 (una forma similar a como se expresan lo rendimientos)  llevados a cabo en la construcción de un pequeño templo o tumba.

4.- El Almagesto de Ptolomeo (130 d.C.) utiliza un sistema matemático sexagesimal que incluye un lugar vacío a modo de cero, incluso al  final  de  una  secuencia  numérica.

5.- En los papiros de Egipto  no se ha encontrado  referencia al autentico conocimiento del número π.  La suposición que viene a darse es a partir de los problemas del cálculo de la superficie del círculo, que se realizaba como el cuadrado de 8/9 del diámetro. Si consideramos un círculo de radio 100 obtendríamos un valor de la superficie de  7901.23. Esto nos daría un valor de π de 3.160492.

6.- Usamos los números naturales para contar y los racionales para medir o comparar. Sin embargo geométricante se demostró que no todas las medidas son racionales.  Hay pruebas de la aproximación de irracionales por los babilonios, en concreto de la aproximación sexagesimal de la raíz cuadrada de dos por el método de aproximación de irracionales por "fracciones continuas". Una fracción se denomina "continua simple" cuando es posible expresarla en la forma:

Siendo a0 un número entero y ai (i ∈ N, i > 0) números enteros positivos.

Si el número es racional es posible aproximarlo por una fracción continua simple finita (es decir, con un número finito de aj ( j ∈ N ∪ {0}). Si el número es irracional, puede ser aproximado por una fracción continua simple infinita (existen infinitos aj ( j ∈ N ∪ {0}).

Este método, utilizado también en Egipto, perduró hasta el Medievo.  (Høyrup J. (1990). On Parts of Parts and Ascending Continued Fractions. An Investigation of the Origins and Spread of a Peculiar System. En Centaurus, 33, 293-324. )

7.-  Según narra Heródoto los egipcios fueron los primeros hombres del mundo que describieron  el  ciclo  del  año,  dividiendo  su  duración,  en doce partes

El inicio del calendario civil se relaciona con el día de la aparición sotíaca, el día de Año Nuevo debería coincidir con la salida de Sirio. Sin embargo el  calendario  quedó establecido de forma fija en 365 días, generando un desfase con el calendario  astronómico en un día cada 4 años.

El año civil egipcio (rnpt)   se dividía en tres estaciones relacionadas con la el ciclo agronómico:

1. akhet   (Axt  ) o periodo de la inundación.
2. peret  (prt  ) o de la siembra.
3. shemu  (Smw  ) o de la recolección.

Las estaciones se subdividían en cuatro meses (Abd  ) con tres semanas de 10 días.

8.- Un ejemplo de lo que digo es la dificultad que hay para conocer el método de fabricación de la cerveza. En el número 13 de la revista Egiptología 2.0 Gerardo P. Taber escribe un interesante artículo sobre esta cuestión y en referencia a una ilustración de la fabricación de cerveza en el muro oeste del “almacén” de la mastaba de Ty (N60 & D22). 2435-2306 +25  a.C., dinastía V, Reino Antiguo.  Nos dice que esta ilustración no nos sirve para explicar la fabricación de la cerveza: << ya que  la intención de sus creadores fue la de proveer de cerveza a las esencias espirituales de Ty por toda la eternidad, no la de “esculpir un manual” para los egiptólogos y cerveceros contemporáneos.>>

9.-  De  la capacidad sumeria para resolver problemas  trigonometrícos  y por tanto topográficos da cuenta la tabla Plimpton 32. De ella dicen Daniel Mansfield y Norman Wildberger, de la Escuela de Matemáticas y Estadística de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Nueva Gales del Sur, Australia:

"La tableta no sólo contiene la tabla trigonométrica más antigua del mundo. También es la única tabla trigonométrica completamente exacta, debido a que la aproximación babilónica a la aritmética y a la geometría era muy diferente"

Enlaces:

Una antigua tabla reescribe las matemáticas y revela al verdadero inventor de la trigonometría

El genio babilonio que se adelantó a Pitágoras 1.000 años y creó las tablas de trigonometría más precisas del mundo