Hace 4.500 años, mientras los primeros pueblos de Europa -y otras partes del mundo- levantaban toscas construcciones de piedra, en una planicie junto al delta del Nilo resplandecía un conjunto arquitectónico sin parangón en grandiosidad y refinada terminación en donde sobresalían tres grandes pirámides como muestra imperdurable de la más antigua y longeva de todas las civilizaciones.
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| Detalle del papiro matemático Rhind (Wikipedia) |
A la luz del
conocimiento moderno, ingenieros y arquitectos reconocen su desconcierto; lo que
ha dejado el campo abierto a múltiples especulaciones y un destacado corolario:
o ellos eran más listos o nosotros somos más tontos. Creo que hay evidencias
que demuestran que ambas cuestiones son ciertas.
Estas
construcciones son sólo la parte más llamativa del legado del antiguo Egipto, civilización
tan fundamental para la historia de Occidente como injustamente reconocida;
siendo así que se menosprecia la capacidad de aquellos pobladores del valle del
Nilo, diluyendo su importante contribución cultural cuando se adjudica a la
civilización helena la invención de casi todo el conocimiento antiguo.
Actualmente este
desprecio hacia las capacidades de los antiguos habitantes del Valle del Nilo se
hace particularmente patente al atribuirse orígenes exógenos a la más
impresionante de todas sus obras. En la Gran Pirámide de Keops, se enfatiza el
nivel técnico necesario para trabajar la piedra sin que parezca igualmente grande
el que un pueblo se organizara para alcanzar semejante hazaña. Si creemos a Heródoto
(el mismo que asegura que el propio Keops prostituyó a su hija para financiar
la obra), la pirámide se realizó en solamente veinte años, algo que se ha admitido
necesariamente para que tenga sentido la hipótesis de tumba del faraón reinante.
Para ponerse
en situación acepte -salvando su escepticismo- la capacidad para trabajar y
modelar la piedra -según la versión aceptada- con herramientas de cobre, piedra
y esmeril (arena de sílice y tal vez corindón). Y ahora, medite sobre los rendimientos
de las demostraciones realizadas y aplíquelo para el conjunto de la obra. Entonces
se dará cuenta que ninguna de las explicaciones resuelve ¡cómo demonios
pudieron tallar, transportar y colocar con precisión absoluta todos los enormes
bloques de una pirámide como la de Keops en sólo 20 años!
Esto viene a
suponer una media de ¡Un bloque cada 2
minutos sin descanso, cada día, durante 20 años!(1)
Ninguna de las
teorías con rampas, trineos y demás, nos
permiten explicar este ritmo. Ni nos acerca a la increíble demostración de fe y
voluntad de alcanzar la perfección. Siendo así que la creencia popular sigue pensando
que los constructores fueron esclavos. No es cierto. Los obreros eran
campesinos que no podían dejar su ocupación mucho tiempo, de ello dependía el
mantenimiento de todo el reino, es de suponer que el grueso de la mano de obra
únicamente podía estar disponibles para trabajar en un lapso de tiempo entre
cosechas que coincidía con la inundación del Nilo. Además, toda la logística
para mantener la producción de las canteras, de las minas, el transporte y
colocación de las piedras, así como asegurar el mínimo bienestar de los obreros
requería de una organización descomunal. Y es que viendo el resultado final, no
nos puede quedar la menor duda de que nada quedó improvisado, o estaríamos
hablando de obras que tardarían siglos en terminarse o hubiesen quedado
inacabadas. En este sentido me pregunto
por qué, habiendo tanto interés en demostrar la técnica usada no ocurre igual
con la logística y organización asombrosa.
Las
capacidades extraordinarias del pueblo egipcio no aparecen ni acaban con la
Gran Pirámide, están presentes por todo el bajo valle del gran río y
evolucionan desde la III dinastía hasta alcanzar pronto su apogeo al comienzo
de la IV dinastía, para luego decaer con el imperio medio, no tanto por una decadencia
técnica y del arte, simplemente se prefiere el enterramiento hipogeo (excavado
en la roca).
Las
pirámides no aparecieron de la nada o caídas del cielo, ya en la edad de piedra
los antepasados de los constructores de pirámides tallaban la piedra en el
desierto Líbico(2). Esta mejora de la técnica no era suficiente, fue
necesaria la figura de un hombre genial para dar un paso gigantesco y ocurrió
durante la III dinastía, cuando se crea un revolucionario concepto del conjunto
funerario. Se llamaba Imhotep, probablemente el primer sabio de la historia, no
solo era el arquitecto real, asumía los principales cargos oficiales como el de
sumo sacerdote (Gran Sacerdote de
Heliópolis) y canciller, su leyenda trascendió hasta convertirse en un
dios de la medicina; pero a lo que aquí nos interesa fue un experto en ingeniería, astronomía y por ende de las matemáticas. ¿Estaríamos
ante el primer gran científico? Si fuese así, quiero pensar que no estuvo solo.
Nuestra sociedad tiende a simplificar los grandes avances atribuyendo a una
sola persona todo el mérito. El mismo Newton reconocía que caminaba a “lomos de
gigantes”, en alusión a la herencia recibida, la propia del conocimiento científico,
que según nuestra experiencia no se pierde
(al menos desde que la ciencia es ciencia), no así el genio que difícilmente
pasa incluso de padres a hijos. No puedo por tanto creer que la revolución
posterior a Imhotep sea cosa de un hombre, aunque fuese genial. Ahora bien, lo
que tenemos claro es que Imhotep fue el supervisor de las obras, el encargado
de organizar los trabajos, de planificar en suma, y luego verificar su
cumplimiento: cronograma, gastos, formación, recursos humanos, necesidades de materiales,
intendencia y –además- motivar a los trabajadores. Así ocurrirá con todos los
constructores de pirámides desde la III dinastía, en su función de ingeniero
director de una obra de tanta envergadura, un trabajo en equipo riguroso y
coordinado por el que siento gran admiración.
Antes
de las pirámides, los enterramientos reales se realizaban en construcciones de adobe
o piedra llamadas mastabas, nombre que en árabe significa "banco"
pues tenían una forma sencilla de edificio de planta rectangular y techumbre
plana pero con las caras inclinadas para asegurar su solidez, esto es, un
tronco piramidal; por eso se dice que el origen de la pirámide es una superposición
de mastabas. Las pirámides clásicas
de Giza, de
la IV dinastía surgen
tras una sorprendentemente rápida evolución. Se cree
que la más antigua es la pirámide escalonada
del faraón Zóser en Saqqara, obra de Imhotep, que
resulta de la
superposición de seis
mastabas de planta rectangular. Pero
si atribuimos a Imhotep el concepto de pirámide aún había que darle forma
perfecta y esto no ocurre hasta poco tiempo después con el rey Esnofru, padre
de Keops. Si la obra de Keops nos parece
sorprendente, esperen a ver lo que hizo su padre que construyó no una, sino
tres pirámides (¿no decían que cada faraón tenía una pirámide?) lo que
supuso un 40% más de movimiento de piedras que la Gran Pirámide. Visto en
conjunto, podría pensarse que no paró de construir hasta obtener la pirámide
perfecta, pues la primera parece que fue comenzada a construir por Huny, se
acabó con un revestimiento de caras lisas que no fue muy duradero. La siguiente pirámide llamada acodada o
romboidal se construyó en Dashur y tiene las caras que comienzan con una
inclinación de 60º y a partir de los 47 metros de altura cambia la pendiente a 43º. Esta es la injustamente calificada pirámide
"chapuza", por que se ha
entendido que el cambio de pendiente fue una rectificación, yo no estoy tan
seguro (los primeros aviones eran biplanos ¿los podemos calificar como chapuza aeronáutica
por el hecho que no tuviesen un único plano?). En todo caso, para ser una
"chapuza" es una pirámide colosal que ha resistido mucho mejor que la
mayoría el paso del tiempo, siendo con sus 188 m solamente superada por
las dos mayores pirámides de Giza; y la llamada "Pirámide Roja", la última pirámide construida por Seneferu en
Dashur es en sí misma una obra increíble, solamente superada por la de Keops en
tamaño (solamente 10 m
menos de lado) y junto con la de Kefrén constituyen el cenit de perfección en
la construcción de pirámides.
Antes
de analizar en la próxima entrada la geometría de las pirámides conviene
situarse en cuál fue el nivel de las matemáticas de los egipcios de la IV
dinastía admitido por la historia. Pensamos que las matemáticas aparecieron en
Grecia, aunque las fuentes griegas -Platón o Aristóteles- nos remiten al
antiguo Egipto, caso de Pitágoras que fue a formarse entre los geómetras de
Egipto. De aquellos conocimientos tenemos pocas referencias escritas, principalmente
algunos ejercicios como la relación del papiro Rhind, que en ningún caso
muestran un autentico conocimiento matemático, su contenido solamente forma
parte de la habilidades prácticas propias de funcionarios para resolver
problemas habituales. No es este sentido práctico el que damos a las
matemáticas como un conocimiento puro, cuando la tratamos como ciencia, no es
esta la matemática de la que hablan Platón o Pitágoras y -por supuesto- no
encontramos aún el rigor o pulcritud científica de un Euclides.
¿Llegaron a un
conocimiento superior al del papiro Rhind? Se
ha desdeñado el alcance del conocimiento matemático egipcio, diciendo que era
de nivel de un escolar. ¿Acaso lo que nos ha quedado no es un texto escolar?
Dado
que las únicas fuentes que tenemos son algo más que un par de papiros (3) con resolución de problemas para el
aprendizaje de funcionarios, deberíamos dejar abierta la posibilidad de un
superior conocimiento matemático en el antiguo Egipto. En este sentido, las
matemáticas coetáneas babilónicas (de las que sí tenemos miles de tablillas de
arcilla) son un referente del posible nivel adquirido por los constructores de
las grandes pirámides; aunque, viene a
admitirse que el sistema sexagesimal posicional -que presentaba una gran
ventaja- no pasó a Egipto, pero es que tampoco al mundo Griego hasta que en el
mundo helenístico se funden los conocimientos; siendo Hiparco de Nicea -en el
siglo II antes de nuestra era- el que
primero aproveche las ventajas de este sistema para crear la trigonometría, la longitud y latitud geográficas; lo hará Ptolomeo(4)
-posteriormente- mientras que Eratóstenes, siendo Bibliotecario de Alejandría,
parece ignorar el sistema sexagesimal.
Todo
ello me lleva a suponer que el origen de
este sistema estaba ligado al conocimiento astronómico con fines religioso,
propio de una casta superior de sacerdotes o funcionarios. Y no pudo darse el
avance posterior de las matemáticas hasta que se democratiza su conocimiento,
en definitiva hasta que pasa de ser un conocimiento reservado - ligado al misticismo y la religión- a una ciencia
teórica o aplicada. Es más, pudo desvirtuarse tal parece que ocurrió en Babilonia durante
el periodo caldeo, si hubo un riguroso conocimiento matemático decayó envuelto
en supersticiones como la cábala o la astrología.
Podemos
trasladar a Egipto este planteamiento. No hay otra forma de resolver la
incoherencia de adjudicar a unos arquitectos, ingenieros y topógrafos sumamente
eficaces y perfeccionistas el uso de una matemática egipcia tan poco precisa
como la que nos ha llegado. No obstante, sabemos que los egipcios no tenían una
expresión para designar al conocimiento matemático, como si lo tenían para la
medicina (swnw) o la astronomía (wnwty) de tal modo que el manuscrito Rhind
comienza de la siguiente manera: "Método correcto de descender en las
cosas conociendo todo lo que está oculto y todas las cosas misteriosas".
Teniendo en cuenta que se trata de una copia, debemos interpretarlo como la
valoración personal de admiración - y orgullo- del copista hacía un instrumento
que sabía manejar pero no entendía como funcionaba.
Las
matemáticas aparecieron igualmente en Mesopotamia y Egipto, de forma separada,
creando métodos para resolver muchos problemas de cálculo que no se modificarán
en gran medida durante milenios hasta la llegada de la notación indo-arábiga
posicional (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0). Ya suponían una gran dificultad para griegos
y romanos las operaciones básicas, realizadas usando letras del alfabeto como
números, se expresaban aditivamente y no como nuestro sistema posicional. Por
ejemplo el número 733 requiere de únicamente tres signos para expresarse, en el
sistema egipcio hacen falta "13", 7 signos que representaran los
cientos, tres para representar las decenas y el signo en hierático para 3 (tres
veces el signo I).
Sin embargo
los babilonios tenían una ventaja con su sistema sexagesimal que no nos han
enseñado en la escuela. Para empezar podían manejar grandes cantidades o muy
pequeñas con gran ahorro de signos, lo que no es una ventaja menor, y tenían
signos específicos para los números del uno al 60 con su sistema cuneiforme.
Pero, lo más importante, tenían un sistema posicional con coma -sexagesimal- y
hueco como equivalente al cero. Probablemente la extensión del uso del ábaco
hizo que se menospreciará este avance. Así, cuando Fibonacci introduce en occidente
el "sistema indo-arábigo" a principios del s. XIII, continúa usando
las fracciones de numerador uno (al estilo egipcio), un engorro que hace que
muchos matemáticos sean reticentes al cambio y prefieran usar el antiquísimo sistema babilónico. Nuestro sistema decimal no será como lo
conocemos hasta que en el siglo XVI el holandés Stevin crea los decimales y lo
hace planteándose las ventajas de un método como el babilónico, pero sin el
engorro de una base 60.
Las
matemáticas se dice que surgieron con las necesidades de llevar la contabilidad
y también con la predicción de las estaciones o incluso de fenómenos del
firmamento como eclipses. En el caso egipcio, en primer lugar la predicción de
las crecidas del Nilo basadas en un calendario ya formulado en la cultura anterior
del desierto(5); pero igualmente por sus consecuencias, ya que sin
el conocimiento de geometría no hubiese sido posible restituir las lindes de
las fincas tras la crecida, que hubiese creado un permanente conflicto para la
permanencia de un campesinado base de la civilización egipcia que -repetimos-
no fueron esclavos.
De las fuentes
históricas se deduce que los egipcios desconocían los números irracionales e
incluso los negativos, usaban números racionales positivos que expresaban como
fracciones de numerador uno, por lo que el sistema de numeración podía ser un
poco farragoso para expresar ciertas fracciones como suma de una serie de
fracciones con numerador la unidad. Aparte de fracciones con numerador la
unidad tipo 1/n, usaban la fracción 2/3, importante en sus cálculos.
Como el método
era muy complejo se hizo necesaria la creación de tablas de fracciones a modo
de nuestra “tabla de multiplicar”, una trivial de 1/n, siendo la más usada la
2/n y también una de 2/3*1/n.
Este concepto
matemático egipcio tiene un claro inconveniente al alargar la expresión de
ciertas fracciones como suma de varias, pero también tiene ventajas prácticas. Pensemos
como dividir 5 hogazas de pan entre un grupo de 8 personas y de igual forma 4
entre un grupo de 7.
¿Cual de los dos grupos recibirá
más pan?
La notación egipcia sería
5/8 =1/2+1/8
4/7=1/2+1/14
Observen como
el escriba puede saber inmediatamente que el primer grupo recibirá más pan,
esto no parece tan evidente sin hacer la división decimal.
El cálculo
moderno nos llevaría a dividir cada hogaza en ocho partes y de estas 40 piezas
repartiríamos 5 partes a cada persona.
El egipcio lo
haría de la siguiente forma, 5/8 sería para él 1/2+1/8. No tiene ya que hacer cálculos para el reparto. Por tanto partiría
los 5 panes por la mitad y daría así
medio pan a cada trabajador restándole dos mitades. Estas las dividiría por la
mitad dos veces para hacerlos cuartos y
finalmente octavos de hogaza. En el otro grupo dividiría los panes por la mitad
para entregar a cada uno esta parte y la mitad restante la partiría en 7 partes
iguales. De forma meramente práctica, este reparto parece más equitativo pues
tiene menos "error" al haber menos cortes.
Esta forma de
operar parece buena para un funcionario, pero no para un matemático. Es de
destacar que no evolucionó en 3.000 años hasta la llegada de la matemática
griega. Por lo que, si admitimos sin más
que es este el nivel de las matemáticas egipcias, estamos igualmente admitiendo
que hubo en un desconocido y lejano pasado un desarrollo de las
matemáticas que explique, por ejemplo, la
resolución de problemas como el cálculo del volumen del tronco de pirámide. En
todo caso lo que nos llega (papiros como el de Rhind) es una copia, transmitida como otra más de las tradiciones
ancestrales del pueblo egipcio.
Sorprendentemente
desconocemos el origen de esta forma de operar, es como si no hubiese tenido un
desarrollo posterior al reino antiguo, tanto que fue paulatinamente perdiéndose rigor.
Mientras que las primeras fuentes, en los problemas de resolución ligados a
formas circulares o de revolución usan una precisión de 3,16 equivalente a pi(5);
finalmente, antes de entrar en Egipto el mundo helenístico, se conforman con
tomar la relación entre la longitud de la circunferencia y el diámetro como 3. Esta
correlación entre la perfección de las
grandes pirámides y la precisión matemática no nos debe engañar en lo referente
a pi. Sería erróneo inferir de estos problemas que los egipcios conocían π.
Esto es tanto como suponer que, efectivamente hubo un conocimiento matemático
científico, otorgándole algunas de las cualidades que aparecerán en el mundo
griego como la demostración empírica, o el razonamiento axiomático deductivo.
No tenemos noticia de nada de esto, aunque tampoco podemos estar seguros que sí,
que lo hubo y luego no nos hubiera llegado. ¿Acaso una herramienta creada
conscientemente que pasa de mano en mano y luego ya nadie entiende como se
construyó?
Un concepto que aparece en la
arquitectura egipcia -ver LA GEOMETRÍA Y
LOS CIMIENTOS DEL CONOCIMIENTO- persistirá en toda la antigüedad. Es el
concepto de proporción o "logos" como lo llamaban los antiguos
griegos. En el que el número no es una medida, es una relación, como puede ser una
razón de proporcionalidad. Durante milenios se repite en los templos, como
catedrales o el mismo Escorial. Miren un ejemplo relacionado con "la
resolución del tronco de pirámide" aplicado a la Gran Pirámide.
Cuando la relación se establece
entre superficies, el valor de la razón se eleva al cuadrado.
La Cámara Real de la pirámide de
Keops está construida a un nivel del suelo en el que un plano paralelo a la
base cortaría una superficie (b2) que es la mitad del área de la
base (B2).
Esto no es casual, luego el
constructor -Hemiunu- conocía la relación:
Esto es, el lado de la base de la
Gran Pirámide es √2 veces el que
correspondería a la base en la que se encuentra la cámara funeraria del rey, el
mismo valor que se obtiene al calcular la relación de la diagonal (d) de dicha
superficie con respecto a su lado (l).
Siguiendo
el teorema de Pitágoras
d2= l2+ l2=2 l2
Se estarán preguntado cómo es
posible que digamos que utilizaron en sus medidas un numero irracional como √2, si no conocían los número irracionales(6). De
hecho, claro que conocían √2, y el teorema de Pitágoras (de donde se deduce), pero además
su uso en la proporción no debería de extrañarles, durante la Edad Media los
templos se construyeron frecuentemente con una proporcionalidad de √2, √3, e incluso la √5, íntimamente
relacionada con la proporción áurea y el número Φ. El uso de estos números
obedece a la facilidad de trasladarse geométricamente con compás, no nos debe
de engañar el hecho que sean irracionales.
Resulta difícil de entender que los grandes
constructores como Imhotep o Hemiunu solo dispusiesen del pobre "material
escolar" encontrado, cuando sus coetáneos babilónicos tenían una
herramienta más precisa. Y es que el sistema sexagesimal no era una mera alternativa
al más natural "decimal" para el uso en la vida cotidiana, de hecho
los nombres de lo números en sumerio o acadio respondían, como en otras culturas,
a una numeración decimal. Es una necesidad posterior a la del mero cálculo cotidiano la que crea el
sistema sexagesimal como herramienta fundamental para obtener medidas precisas
muy grandes o pequeñas, precisión necesaria para la astronomía, la medida
angular y del tiempo, por eso lo seguimos usando. Por tanto, el sistema sexagesimal se crea como
herramienta científica; como curiosamente lo es actualmente en topografía y
geodesia, algo que debió interesarles mucho a los babilonios ¿acaso no, tanto o
más, a los egipcios de aquella época?
Entremos a
explicar estas ventajas del sistema sexagesimal. Aunque su uso se mantuviese
para el estudio científico pudo comenzar a usarse por simples motivos
prácticos. Así se suele admitir que encontraron una forma de contar cantidades
superiores a 10 con los dedos usando las falanges. De tal modo que con la mano
izquierda podían contarse hasta 12, 3
falanges por 4 dedos, usando el pulgar como puntero. En algún momento pensaron
que la mano derecha podía llevar la cuenta de estas docenas, hasta 5. De ahí 5 x 12 = 60.
Hay también una hipótesis relacionada con la medida
del tiempo, pues partiendo del mes lunar hicieron un año de 360 días, esto es
12 meses de 30 días. De aquí la división del día en 12 horas y la noche en
otras 12 horas. Esta explicación es atractiva,
aunque parte de una error aparente, el año de solo 360 días. Sin embargo no
resulta tan extraño que estos grandes astrónomos prefirieran mantener la
integridad del modelo matemático y lunar, con el oportuno cuadre posterior
(añadir los días que faltaban) cuando comenzaron a usar el año solar. Pues este descuadre es finalmente inevitable,
lo tenemos también en nuestro calendario
solar, que requiere igualmente de un reajuste cada 4 años, añadiendo un día en
febrero.
El sistema
sexagesimal usaba un sistema posicional parecido al nuestro, en el que nuestro
cero es un hueco, podían escribir así con gran ahorro de signos y espacio
números muy grandes como potencias de 60. Pero su gran logro fue usar algo
parecido a nuestra coma decimal, con lo que podían manejar cifras con una gran
precisión, mediante las mismas potencias negativas.
De
otro modo
606
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605
|
604
|
603
|
602
|
601
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600
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60*60*60*60*60*60
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60*60*60*60*60
|
60*60*60*60
|
60*60*60
|
60*60
|
60
|
1
|
por ejemplo 2019, seria
33, 39
33*60=1980
39*600=39
1980+39=2019
Las posiciones menores de la unidad se separaban con el
equivalente a nuestra coma, que representamos como punto y coma (;).
Según Ian
Stewart en su "Historia de las
matemáticas en los últimos 10.000 años"
tenemos tablillas astronómicas muy precisas como en la que aparece el
calculo del periodo orbital de Marte, tiempo transcurrido en repetir la misma
posición en el cielo, como 12, 59; 57, 17 días, aproximadamente
799,954722 días. El valor actual es de 799,936 días ó en sexagesimal
12, 59; 57, 13 días.
Con solo tres
posiciones sexagesimales por debajo de la unidad, como aparecen en algunas tablillas de contenido astronómico,
la precisión es muy alta. Por ejemplo en una tablilla de un estudio sobre
Júpiter encontramos:
0; 0, 45, 18
En decimal
0,012583333... Por tanto, para conseguir la misma precisión hemos de poner, en
lugar de tres posiciones sexagesimales al menos seis decimales señalando la
periodicidad.
Ahora comparemos
esta forma de precisar números decimales con la egipcia, supongamos una cantidad
irracional y por tanto con infinitos decimales. Sea pi, π=3,141592 (Nota: es un
ejemplo, se dice que para los babilonios pi era 3+1/8)
Hemos escrito este número con una
precisión de 6 decimales. Ahora vemos como alcanzamos esta precisión con una
cifra sexagesimal.
La forma más
sencilla para el babilónico sería hacer una tabla con cifras sexagesimales del
tipo n/60. Encontraría que la que más se
acerca es 8/60 = 0,133333, lo que nos da un resto de 0,008258. Luego buscamos
en la tabla n/3600 y encontramos 29/3600 que es 0,008055. Después podemos
buscar una última cifra con la tabla n/ 216000 y podemos usar 43/216000 por
defecto (para poder seguir aproximando con otra posición sexagesimal) pero
teniendo en cuenta que estamos ante un irracional -decimales infinitos- deberíamos usar 44/2160000 = 0,0002037 más precisa.
Luego
3; 8, 29, 44 como valor decimal de 3,1415926. El error respecto a la cantidad
inicial es de 0,0000006. Aunque al ser un número de infinitos decimales el
error real sobre pi es menor ya que π con más precisión es 3,141592654.
Curiosamente resulta una precisión total de 7 decimales para usar tres
posiciones sexagesimales.
Como
vemos al babilónico no le costaría mucho hacer estos cálculos, pues estas
tablas n/60, n/60*60, y n/60*60*60 les seria de uso común para valores
inferiores a 60.
Ahora veamos al escriba egipcio
calculando el número que más se aproxime a 3,141592.
Haría algo parecido con sus
tablas 1/n.
Primeramente encontraría sin
dificultad una primera aproximación como 1/8 y luego otra como 1/61.
3+1/8+1/61=3, 141393
La dificultad llega ahora. Yo con
una tabla excel encuentro rápidamente 1/4923 como la solución más precisa, esto
supone hacer muchas divisiones 1/n de tanteo.
El valor final sería
3+1/8+1/61+1/4923= 3,141596570796829.
Sin alcanzar aún la precisión de 6
decimales buscada, sería 3,141596.
Advierto
que 1/4923 no seria manejado por un escriba como un número, sino como una serie
de sumas de 1/2n sencillas: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64; en algún caso 2/n
ó más raramente 3/2n. Aunque había algo peor y es la forma de expresar este
número con los signos egipcios ¡una locura! Les dejo que lo averigüen.
Como dice Ian Stewart, "las fracciones
provocaban grandes dolores de cabeza en Egipto". No obstante, yo me pregunto
si realmente los egipcios no usaron un método más sencillo de anotar y de más
precisión en cálculos que lo requerían; habiéndolo conocido, pues me resulta difícil creer
que las dos grandes civilizaciones matemáticas de la antigüedad no
llegaron a compartir su conocimiento.
En
este sentido hay indicios de la entrada
del sistema sexagesimal en el calendario solar Egipcio que parece
remontarse a una época anterior a la primera dinastía tomada por la observación
de Sirio, con una curiosidad, el uso
formal del año de 360 días dividido en doce partes. El año civil egipcio tenía
tres estaciones de 4 meses, cada mes con tres semanas de 10 días; por tanto
360 días. Para completar el año civil de 365 días se añadieron cinco días extra
llamados epagómenos del griego ἐπαγόμεναι, asociados a cinco de las grandes
divinidades egipcias: Osiris, Horus, Seth, Isis y Nephtys(7).
También aparece lo que podría ser un rasgo
sexagesimal en el sistema de medidas egipcio antropométrico tomado
posteriormente por griegos y romanos. A la unidad fundamental se la llama
"codo" y originalmente se subdivide en 6 palmos de 4 dedos. Aunque
hoy tenemos plenamente asumido el SMD, todavía nos resulta familiar la
subdivisión en 24, o en cuatro. La última, ha sido usada ampliamente en la
moneda, mientras que 24 como 12 deriva directamente del sistema sexagesimal
creado por los sumerios. Para una cultura que usaba el sistema decimal, esta
división no parece casual, y según la opinión de los metrólogos de la antigüedad
se trasladará a todas las civilizaciones hasta la aparición del SMD.
En
todo caso, el desconocimiento supuesto de la matemática babilónica en Egipto se
da por paralelismo con el mundo heleno; no tenemos matemáticos hasta que Alejandro
Magno pone en contacto todo oriente y las tierras del Nilo. Para entonces el
saber matemático tanto en Mesopotamía como en el Valle del Nilo se había
apagado, o simplemente olvidado. En todo caso no se recordaba precedente en la
enseñanza de la geometría que fuera más allá de la mera resolución de problemas
prácticos, cuando se da un salto gigantesco que parece que comienza con Thales
de Mileto y el uso de la demostración; un método abierto y objetivo, que se
perfecciona bajo los principios de
divulgar y discutir; este será el método de la ciencia posterior.
Si
hubo algo parecido en Egipto solo queda la piedra tallada y aquí, cuidado con
las apariencias. Todo el que se acerque al estudio del antiguo Egipcio que
comprenda que toda representación
artística o legado cultural está en un lenguaje místico, no está representado
para nuestros ojos, ni siquiera para los
ojos de aquel pueblo, sino a sus dioses(8). Dicho de otra forma, es
muy importando que entendamos el carácter simbólico de estas figuras y no las
tomemos por lo que no es.
No
encontramos textos parecidos a los griegos ni probablemente nunca los
encontremos. Simplemente podemos atribuirle esto a la ignorancia
matemática, aunque tal vez nunca pretendieron divulgar el conocimiento como sí lo hicieron
los helenos. En este sentido, recuerdo como no hay un tratado de metalurgia
o de ingeniería griego y sabemos que simplemente es porque, en general, los
intelectuales helenos desdeñaban el conocimiento técnico. Esto no significa que
no supiesen construir máquinas y producir herramientas.
Desgraciadamente, esto nos lleva a un
callejón sin salida, pues si los primeros sacerdotes-constructores mantenían un
hermetismo sobre el proceso para alcanzar la inmortalidad que incluía ciertos
conocimientos geométricos, podemos entender que en el momento en que el proceso
se democratiza -divulga-, quizá se hubiese perdido parte del antiguo
conocimiento, tal vez tergiversado tras el paso de los siglos, como decimos que
pasó con la astronomía babilónica y la astrología posterior.
Después
de descifrar el contenido de la tablilla Plimton 32(9), deberíamos
replantearnos el nivel de la trigonometría
antigua. Es muy extraño que se admita que Eratóstenes midió el meridiano
terrestre suponiendo que Alejandría y la actual Asuán estaban en el mismo
meridiano, o que esta última estaba en el trópico; son errores de orientación
muy groseros cuando vemos la perfecta orientación de las pirámides. El gran matemático Eratóstenes
fue un topógrafo chapuza
comparado con los arquitectos reales de dos milenios antes y sin embargo ha
pasado a la posterioridad por medir La Tierra con gran precisión.
En
todo caso es muy discutible determinar el nivel de las matemáticas de Hemiunu, el constructor de la Gran
Pirámide. Ni él ni posteriores
escribirán sobre su conocimiento, aquello que nos llega directamente lo hace
tras el encuentro entre la supuesta matemática egipcia de unos sacerdotes
llamados "geómetras" (literalmente los medidores de la Tierra) y la
ciencia helena con los pitagóricos. Después de dos milenios solo llegaron los
rescoldos; y de este reducido conocimiento ¿qué pudo trascender de una secta
hermética?
Notas:
1.- Suponemos que la cantidad de bloques que tenía la Gran Pirámide era de
2.700.000. Hagamos la siguiente operación, 20 años de 365 días.
365*20=7.300
jornadas
El número de horas laborales podrían ser las 12 -
de media- de luz.
365*20*12= 87.600 horas de trabajo diurno.
Los minutos son 87.600*60= 5.256.000
Luego, el ritmo debió ser de 5.256.000/2.700.000=1,95
minutos por bloque colocado definitivamente.
¡Un bloque cada 2 minutos sin descanso, cada día,
durante 20 años!
2.- Sería el final de la etapa húmeda del Sahara justamente antes de las
primeras referencias egipcias https://es.wikipedia.org/wiki/Nabta_Playa
3.- Básicamente los llamados papiros Rhind y Moscú, hay
otros textos de menor entidad como los de Kahun, Berlín, Reiner y Ajmin.
Son
problemas muy fáciles de resolver actualmente, entonces no era tan sencillos,
no disponían de algebra ni nuestro sistema de numeración, pero eran capaces de
resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas siendo una de ellas de
segundo grado.
El primero debe su nombre al anticuario
escocés Henry Rhind, se encuentra en Londres, tiene 87 problemas, data del año 1650 a .C. y conocemos el nombre de su copista, Ahmes.
El
segundo está en Moscú, data del 1.800
a .C., tiene 25 problemas
y no conocemos su autor.
Los
problemas del 56-60 del papiro Rhind están dedicados al cálculo de pirámides.
Pero únicamente a problemas cómo: Sea una pirámide de tantos codos de lado y
tanto de sequed -pendiente- ¿cuánto mide su altura?
El
Papiro Reisner I, que está dividido en 17 secciones (denominadas de la A a la
Q) tiene las comprendidas entre la G y la K
dedicados a los cálculos de materiales y trabajos contabilizados como
hombres-día con la división por 10 (una forma similar a como se expresan lo
rendimientos) llevados a cabo en la
construcción de un pequeño templo o tumba.
4.- El Almagesto de Ptolomeo (130 d.C.) utiliza un sistema matemático
sexagesimal que incluye un lugar vacío a modo de cero, incluso al final
de una secuencia
numérica.
5.- En los papiros de Egipto no se
ha encontrado referencia al autentico
conocimiento del número π. La suposición
que viene a darse es a partir de los problemas del cálculo de la superficie del
círculo, que se realizaba como el cuadrado de 8/9 del diámetro. Si consideramos
un círculo de radio 100 obtendríamos un valor de la superficie de 7901.23. Esto nos daría un valor de π de
3.160492.
6.- Usamos los números naturales para contar y los racionales para medir o
comparar. Sin embargo geométricante se demostró que no todas las medidas son
racionales. Hay pruebas de la aproximación
de irracionales por los babilonios, en concreto de la aproximación sexagesimal
de la raíz cuadrada de dos por el método de aproximación de irracionales por
"fracciones continuas". Una fracción se denomina "continua
simple" cuando es posible expresarla en la forma:
Siendo
a0 un número entero y ai (i ∈ N, i > 0) números enteros positivos.
Si
el número es racional es posible aproximarlo por una fracción continua simple
finita (es decir, con un número finito de aj ( j ∈ N ∪ {0}). Si el número es irracional, puede ser
aproximado por una fracción continua simple infinita (existen infinitos aj ( j ∈ N ∪ {0}).
Este
método, utilizado también en Egipto, perduró hasta el Medievo. (Høyrup J. (1990). On Parts of Parts and Ascending Continued Fractions. An Investigation
of the Origins and Spread of a Peculiar System. En Centaurus, 33,
293-324. )
7.- Según narra Heródoto los
egipcios fueron los primeros hombres del mundo que describieron el
ciclo del año,
dividiendo su duración,
en doce partes
El
inicio del calendario civil se relaciona con el día de la aparición sotíaca, el
día de Año Nuevo debería coincidir con la salida de Sirio. Sin embargo el calendario
quedó establecido de forma fija en 365 días, generando un desfase con el
calendario astronómico en un día cada 4
años.
El
año civil egipcio (rnpt) se dividía en
tres estaciones relacionadas con la el ciclo agronómico:
- akhet (Axt
) o periodo de la inundación.
- peret (prt
) o de la siembra.
- shemu (Smw
) o de la recolección.
Las
estaciones se subdividían en cuatro meses (Abd
) con tres semanas de 10 días.
8.- Un ejemplo de lo que digo es la dificultad que hay para conocer el
método de fabricación de la cerveza. En el número 13 de la revista Egiptología
2.0 Gerardo P. Taber escribe un interesante artículo sobre esta cuestión y en
referencia a una ilustración de la fabricación de cerveza en el muro oeste del
“almacén” de la mastaba de Ty (N60 & D22). 2435-2306 +25 a.C., dinastía V, Reino Antiguo. Nos dice que esta ilustración no nos sirve
para explicar la fabricación de la cerveza: << ya que la intención de sus creadores fue la de
proveer de cerveza a las esencias espirituales de Ty por toda la eternidad, no
la de “esculpir un manual” para los egiptólogos y cerveceros
contemporáneos.>>
9.- De la capacidad sumeria para resolver problemas trigonometrícos y por tanto topográficos da cuenta la tabla
Plimpton 32. De ella dicen Daniel Mansfield y Norman Wildberger, de la Escuela
de Matemáticas y Estadística de la Facultad de Ciencias de la Universidad de
Nueva Gales del Sur, Australia:
"La
tableta no sólo contiene la tabla trigonométrica más antigua del mundo. También
es la única tabla trigonométrica completamente exacta, debido a que la
aproximación babilónica a la aritmética y a la geometría era muy
diferente"
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