Las grandes pirámides perfectas, de
caras lisas y base cuadrada de la IV dinastía, se encuentran entre las obras
más populares del antiguo Egipto. Dentro de una etapa de 8 siglos de
construcciones, la mas sobresaliente es la colosal obra de Keops, a la que
cuesta encuadrar históricamente ya que resulta un tanto desconcertante atribuir
la autoría de esta pionera construcción a un reinado menor en cuanto a poderío,
influencia regional y expresión artística, respecto a la del imperio posterior.
 |
| Imagen extraída de pxhere |
Según la historia aceptada, el
camino a la perfección de la construcción de pirámides es tan rápido que entre
la pirámide escalonada construida por Inmhotep a la de Keops solo pasa un siglo,
en el que se construyen otras tres obras colosales.
Pongámonos en situación. Imhotep, en
tiempos del rey Zoser[i]
(2.650 a .
C.) segundo faraón de la III dinastía, fue el autor del complejo funerario de
la "Pirámide Escalonada" de Saqqara, cerca de Menfis. Esta
pirámide serviría de modelo a las demás, sus sucesores en la dinastía iniciaron
pirámides escalonadas y no acabadas hasta llegar el reinado de Huny, o más bien su sucesor Seneferu que terminó
la primera pirámide "clásica" monumental de base cuadrada y caras
lisas en Meidum. Después, en Dahshur ordenó erigir dos pirámides más muy singulares,
la Pirámide Acodada, construida con ocho caras
laterales (cuatro triangulares y cuatro trapezoidales), y la Pirámide Roja,
con forma de pirámide clásica realizada
con una perfección similar a la más famosa de su sucesor Jufu (Keops para
Heródoto).
 |
| Pirámide escalonada de Zoser (Fuente De Charles J Sharp - Trabajo propio, from Sharp Photography, sharpphotography, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=32434567) |
 |
| Pirámide acodada (Fuente: CC BY-SA 2.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=567433) |
 |
| Pirámide roja (Fuente: CC BY-SA 2.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=949380) |
Esto supone que en un plazo de 846
años se construyen al menos 25 pirámides perfectas, desde la primera de
Seneferu (iniciada por Huny en 2.612 a.C.) hasta la de Jendyer en el 1750 a .C. Supusieron una
volumen total de 11,400 millones de m3
de piedra aproximadamente. Curiosamente las primeras, las tres pirámides de
Seneferu más la de su hijo Keops y la de
Kefren, construidas todas en un plazo de 73 años, suponen un movimiento de piedra
de cerca de 8,400 millones de m3 de piedra. Es decir que consumieron
el 74% de todo el volumen de piedra, y además fueron las mejor construidas, de
hecho el resto de pirámides generalmente son un montón de escombros.
En resumen:
·
En los primeros 73 años de la era de las
pirámides se construyen las cinco más perfectas consumiendo el 74% de toda la
piedra.
·
El resto de los ocho siglos, se construyen al
menos 20 pirámides más cuya suma apenas es más de 1/4 del total y de las que
muchas veces apenas queda rastro de su forma.
·
Con la piedra de la pirámide de Keops podrían construirse casi
100 pirámides de 50 m
de lado como las de Jendyer o Amosis I.
Estos datos les puede sorprender
pero hagan el cálculo de como crece en volumen una pirámide. Supongamos una serie
de pirámides con idéntica forma o semejantes en términos matemáticos, lo que
significa que tienen la misma pendiente de las caras. Pongamos una pendiente de
51º 50' 40", como la pirámide de Keops.
|
Lado
|
Altura
|
Volumen
|
|
50
|
31,8
|
26.515
|
|
100
|
63,6
|
212.123
|
|
150
|
95,4
|
715.916
|
|
200
|
127,3
|
1.696.987
|
|
230,4
|
146,6
|
2.594.394
|
Solamente añadiendo los 30,4 m a la de 200 m para llegar al tamaño
de la Gran Pirámide supone un volumen total de 2.594.394 m3 , un incremento de un
53%.
Tabla de las pirámides principales (Fuente:
Wikipedia).
|
Faraón
|
Dinastía
|
Año a. C.
aprox.
|
Situación
|
Geometría
|
||
|
Lado
N (m)
|
Lado
E (m)
|
Altura
(m)
|
||||
|
Sejemjet
|
III
|
2638
|
Saqqara
|
120
|
120
|
70
|
|
Jaba
|
III
|
2633
|
Zawyet
el-Aryan
|
83,8
|
83,8
|
40
|
|
Nebkara
|
IV
|
2620
|
Zawyet
el-Aryan
|
180
|
110
|
(?)
|
|
Seneferu
(1ª) (iniciada por Huny en 2612)
|
III/IV
|
2596
|
Meidum
|
144
|
144
|
92
|
|
Seneferu
(2ª)
|
IV
|
2596
|
Dahshur
|
188
|
188
|
105
|
|
Seneferu
(3ª)
|
IV
|
2582
|
Dahshur
|
220
|
220
|
104
|
|
Keops
(Jufu)
|
IV
|
2557
|
Guiza
|
230,3
|
230,3
|
146,6
|
|
Dyedefra
|
IV
|
2549
|
Abu
Roash
|
106,2
|
106,2
|
67 (?)
|
|
Kefrén
(Jafra)
|
IV
|
2523
|
Guiza
|
215,2
|
215,2
|
143,5
|
|
Micerino
(Menkaura)
|
IV
|
2502
|
Guiza
|
104,6
|
102,2
|
66,4
|
|
Shepseskaf
|
IV
|
2494
|
Saqqara
|
99,6
|
74,4
|
18,7
|
|
Jentkaus
I
|
IV
|
2494
|
Saqqara
|
45,5
|
45,8
|
17,5
|
|
Userkaf
|
V
|
2484
|
Saqqara
|
73,3
|
73,3
|
49
|
|
Sahura
|
V
|
2470
|
Abusir
|
78,5
|
78,5
|
48
|
|
Neferirkara
|
V
|
2455
|
Abusir
|
104
|
104
|
72
|
|
Shepseskara
|
V
|
2450
|
Abusir
|
(?)
|
(?)
|
(?)
|
|
Neferefra-Isi
(mastaba)
|
V
|
2440
|
Abusir
|
65
|
65
|
(?)
|
|
Nyuserra-Iny
|
V
|
2415
|
Abusir
|
78,5
|
78,5
|
50
|
|
Menkauhor-Ikauhor
|
V
|
2400
|
Saqqara
(?)
|
68 (?)
|
|
(?)
|
|
Dyedkara-Isesi
|
V
|
2375
|
Saqqara
|
78,7
|
78,7
|
52,5
|
|
Unis
|
V
|
2345
|
Saqqara
|
57,7
|
57,7
|
43
|
|
Teti
|
VI
|
2325
|
Saqqara
|
78,7
|
78,7
|
52,5
|
|
Pepy
I
|
VI
|
2300
|
Saqqara
|
78,7
|
78,7
|
52,5
|
|
Merenra
I
|
VI
|
2265
|
Saqqara
|
78,7
|
78,7
|
52,5
|
|
Pepy
II
|
VI
|
2200
|
Saqqara
|
78,7
|
78,7
|
52,5
|
|
Neferkara
Neby
|
VII
|
2170
|
Saqqara
(?)
|
(?)
|
(?)
|
(?)
|
|
Kakaura
Ibi
|
VIII
|
2170
|
Saqqara
|
24 (?)
|
24 (?)
|
21,6 (?)
|
|
Jui
|
VIII
|
2170
|
Dara
|
144
|
138
|
(?)
|
|
Iti
|
VIII
|
2170
|
(?)
|
(?)
|
(?)
|
(?)
|
|
Merykara
|
X
|
2100
|
(?)
|
(?)
|
(?)
|
(?)
|
|
Amenemhat
I
|
XII
|
1970
|
El-Lisht
|
84
|
84
|
59
|
|
Senusert
I
|
XII
|
1940
|
El-Lisht
|
105,2
|
105,2
|
48,6
|
|
Amenemhat
II
|
XII
|
1895
|
Dashur
|
50 (?)
|
50 (?)
|
(?)
|
|
Senusert
II
|
XII
|
1878
|
El-Lahun
|
107
|
107
|
48,6
|
|
Amenemhat
II
|
XII
|
1850
|
Dahshur
|
105
|
105
|
61,2
|
|
Amenemhat
III (1ª)
|
XII
|
1820
|
Dahshur
|
105
|
105
|
75
|
|
Amenemhat
III (2ª)
|
XII
|
1800
|
Hawara
|
102
|
102
|
58
|
|
Amenemhat
IV
|
XII
|
1790
|
Mazghuna
|
52,5 (?)
|
52,5 (?)
|
(?)
|
|
Neferusobek
|
XII
|
1786
|
Mazghuna
|
52 (?)
|
52 (?)
|
(?)
|
|
Ameny
Qemau
|
XIII
|
1760
|
Dahshur
|
49,5
|
49,5
|
(?)
|
|
Jendyer
|
XIII
|
1750
|
Saqqara
|
52,5
|
52,5
|
37,3
|
|
Amosis
I
|
XVIII
|
1530
|
Abidos
|
52
|
40
|
(?)
|
Durante 8 siglos se construirán
pirámides siguiendo un patrón, pero antes de continuar hagamos una crítica
fundamental acerca de las dimensiones de las pirámides. En muchos sitios en los
que se sostienen diversas hipótesis acerca de la geometría piramidal se basan en
unas medidas pretendidamente ciertas. Yo soy escéptico y no es mi intención
convencerles sino darles datos para que reflexionen sobre ello. En términos
matemáticos, comprenda que la precisión de la medida obtenida no tiene mucho
valor, la única medida interesante es la que se encontraba en la cabeza del
arquitecto, hoy diríamos la de los planos del proyecto. Entendiendo el
significado de "la medida" como proporción tal como se explicó en las
entradas anteriores, sería interesante conocer
ese logos o proporción en que se
expresa la geometría de las pirámides. Por tanto, no importa mucho la exactitud
de este valor ni tiene sentido matemático las medidas en metros o pulgadas; sino de codos reales, como vamos a ver.
En el mundo más académico se han
usado las medidas de Petrie, luego ha habido otras medidas más modernas. En
rigor, todas ellas tienen errores y no únicamente un error topográfico, esto es
insignificante, lo de menos. Por ejemplo, las pirámides están muy deterioradas.
¡Hablamos de construcciones de hace 4.000 años! Algunas son un montón de
escombros. ¿Cómo conocer su lado? Un
detalle que puede pasar inadvertido, es el error al pasar las medidas
anglosajonas al SMD[ii].
Ahora viene un punto importante. Si
buscamos las medidas originales, según Petrie estaban en codos reales, por ello
no resulta extraño que dada la incertidumbre de la "medida exacta"
que nos ofrece el trabajo topográfico acercando la medida al milímetro o la
décima de pulgada (en el caso del británico) se haga el redondeo de la medida
en codos reales. Llegado a este punto
puede uno abandonar o admitir estas limitaciones. Desgraciadamente no he
podido, ni creo que pueda, medir yo mismo las pirámides para asumir los errores
de medición; pero si, puedo hacer el redondeo. Tengan por tanto en cuenta todo
esto.
Ahora nos quedaremos con las
pirámides más perfectas e importantes para establecer cuales son los parámetros
que se utilizaron en el diseño de estas construcciones. Las medidas del lado las hemos expresado en
tres "medidas" usualmente aceptadas del cr (codo real) y vemos su
redondeo.
|
|
|
|
medidas en codos
reales
|
|
||
|
Pirámide
|
Lado (m)
|
h (m)
|
cr
0,523
|
cr
0,5238
|
cr
0,524
|
REDONDEO CR
|
|
Sejemjet
|
120
|
70
|
229,45
|
229,10
|
229,01
|
230
|
|
Jaba
|
83,8
|
40
|
160,23
|
159,98
|
159,92
|
160
|
|
Seneferu
(1ª)
|
144
|
92
|
275,33
|
274,91
|
274,81
|
275
|
|
Seneferu
(2ª)
|
188
|
105
|
359,46
|
358,92
|
358,78
|
360
|
|
Seneferu
(3ª)
|
220
|
104
|
420,65
|
420,01
|
419,85
|
420
|
|
Keops
(Jufu)
|
230,3
|
147
|
440,34
|
439,67
|
439,50
|
440
|
|
Kefrén
(Jafra)
|
215,2
|
144
|
411,47
|
410,84
|
410,69
|
410
|
|
Micerino
(Menkaura)
|
104,6
|
66,4
|
200,00
|
199,69
|
199,62
|
200
|
|
Jentkaus
I
|
45,5
|
17,5
|
87,00
|
86,87
|
86,83
|
87
|
|
Userkaf
|
73,3
|
49
|
140,15
|
139,94
|
139,89
|
140
|
|
Sahura
|
78,5
|
48
|
150,10
|
149,87
|
149,81
|
150
|
|
Neferirkara
|
104
|
72
|
198,85
|
198,55
|
198,47
|
200
|
|
Nyuserra-Iny
|
78,5
|
50
|
150,10
|
149,87
|
149,81
|
150
|
|
Dyedkara-Isesi
|
78,7
|
52,5
|
150,48
|
150,25
|
150,19
|
150
|
|
Unis
|
57,7
|
43
|
110,33
|
110,16
|
110,11
|
110
|
|
Teti
|
78,7
|
52,5
|
150,48
|
150,25
|
150,19
|
150
|
|
Pepy
I
|
78,7
|
52,5
|
150,48
|
150,25
|
150,19
|
150
|
|
Merenra
I
|
78,7
|
52,5
|
150,48
|
150,25
|
150,19
|
150
|
|
Pepy
II
|
78,7
|
52,5
|
150,48
|
150,25
|
150,19
|
150
|
|
Amenemhat
I
|
84
|
59
|
160,61
|
160,37
|
160,31
|
160
|
|
Senusert
I
|
105,2
|
48,6
|
201,15
|
200,84
|
200,76
|
200
|
|
Senusert
II
|
107
|
48,6
|
204,59
|
204,28
|
204,20
|
204
|
|
Amenemhat
III (1ª)
|
105
|
75
|
200,76
|
200,46
|
200,38
|
200
|
|
Amenemhat
III (2ª)
|
102
|
58
|
195,03
|
194,73
|
194,66
|
195
|
|
Jendyer
|
52,5
|
37,3
|
100,38
|
100,23
|
100,19
|
100
|
Se puede
apreciar como se puede redondear en
múltiplos de 5 el lado expresado en cr.
Igualmente es
fácil encontrar como las pendientes (medida como tangente, tg) de las caras
calculadas según las medidas en metros, a pesar del error de la medición, se
acerca mucho a la teórica del sequed (tg sequed).
|
Pirámide
|
Lado (m)
|
h (m)
|
TG
|
TG
SEQ
|
Sequed (dedos)
|
|
Sejemjet
|
120
|
70
|
1,166667
|
1,166667
|
24
|
|
Jaba
|
83,8
|
40
|
0,954654
|
0,965517
|
29
|
|
Seneferu
(1ª)
|
144
|
92
|
1,277778
|
1,272727
|
22
|
|
Seneferu
(2ª)
|
188
|
105
|
1,117021
|
1,12
|
25
|
|
Seneferu
(3ª)
|
220
|
104
|
0,945455
|
0,965517
|
29
|
|
Keops
(Jufu)
|
230,3
|
147
|
1,273122
|
1,272727
|
22
|
|
Kefrén
(Jafra)
|
215,2
|
144
|
1,333643
|
1,333333
|
21
|
|
Micerino
(Menkaura)
|
104,6
|
66,4
|
1,269598
|
1,272727
|
22
|
|
Jentkaus
I
|
45,5
|
17,5
|
0,769231
|
0,756757
|
37
|
|
Userkaf
|
73,3
|
49
|
1,336971
|
1,333333
|
21
|
|
Sahura
|
78,5
|
48
|
1,22293
|
1,217391
|
23
|
|
Neferirkara
|
104
|
72
|
1,384615
|
1,4
|
20
|
|
Nyuserra-Iny
|
78,5
|
50
|
1,273885
|
1,272727
|
22
|
|
Dyedkara-Isesi
|
78,7
|
52,5
|
1,33418
|
1,333333
|
21
|
|
Unis
|
57,7
|
43
|
1,490468
|
1,473684
|
19
|
|
Teti
|
78,7
|
52,5
|
1,33418
|
1,333333
|
21
|
|
Pepy
I
|
78,7
|
52,5
|
1,33418
|
1,333333
|
21
|
|
Merenra
I
|
78,7
|
52,5
|
1,33418
|
1,333333
|
21
|
|
Pepy
II
|
78,7
|
52,5
|
1,33418
|
1,333333
|
21
|
|
Amenemhat
I
|
84
|
59
|
1,404762
|
1,4
|
20
|
|
Senusert
I
|
105,2
|
48,6
|
0,923954
|
0,933333
|
30
|
|
Senusert
II
|
107
|
48,6
|
0,908411
|
0,903226
|
31
|
|
Amenemhat
III (1ª)
|
105
|
75
|
1,428571
|
1,4
|
20
|
|
Amenemhat
III (2ª)
|
102
|
58
|
1,137255
|
1,333333
|
21
|
|
Jendyer
|
52,5
|
37,3
|
1,420952
|
1,4
|
20
|
Recordemos
que en geometría el término semejante hace alusión a igualdad de forma,
independientemente del tamaño. Las formas de las pirámides perfectas de base
cuadrada queda definida únicamente por la pendiente de sus caras, una proporción
-un número- que los antiguos egipcios lo
llamaban sequed y era tan simple como
nuestra pendiente en tantos por ciento.
El sequed se representaba como la pendiente de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo cuyos catetos serian, el vertical igual al patrón de medida y el
horizontal el número de submultiplos de esta unidad.
Durante este periodo se usó como
unidad fundamental el codo real y sus submúltiplos serian el palmo y dedo.
1 codo real
(cr)= 7 palmos= 28 dedos.
Por tanto el
sequed 22 era el de 22 dedos por codo.
En el
manuscrito Rhind[iii],
un texto de problemas para los estudiantes escribas, aparecen problemas de cálculo
de medidas de pirámides con uso de fracciones (recuerdo que los egipcios no
usaban decimales). Así, por ejemplo, el problema 56 trata del cálculo del sequed
de una pirámide de 250 codos de altura y 360 codos de lado en la base. La
inclinación decimal podemos expresarla como 0,72 (72% de pendiente) es decir
20,16 dedos o, lo que es lo mismo, 5 palmos y 0,16 dedo. Los egipcios no usaban
nuestra notación y no tenían decimales, así que lo expresaban como fracción de
dedo y seria un sequed de 5 y 1/25 palmos por codo.
Siguiendo las medidas en la tabla vemos que las
principales pirámides tiene un sequed de 20, 21, 22, 23, 24, 25 y 29. Siendo la pendiente más usada la de 21 dedos por
codo.
Entonces tenemos un modelo
geométrico de forma piramidal regular con base cuadrada definido únicamente por
la pendiente de las caras. A la hora de mostrarle al faraón el futuro proyecto solamente
habría que mostrarle la forma de sequed 20, 21, ....etc; mientras que el
tamaño, vendría definido por el lado que lógicamente sería una cantidad entera
de unidades.
En
consecuencia, otras medidas usadas por los estudiosos del tema como la altura,
la diagonal de la base o la pendiente de la arista son derivadas del lado y
pendiente de la cara; por lo que sus números no parece que definan la pirámide.
En este sentido se ha escrito mucho sobre
ciertos números o proporciones que aparecen a partir de las medidas, como es el
caso de pi dentro la geometría de la Gran Pirámide de Keops. ¿Es posible
determinar esto?
Dicen que los egipcios conocían
únicamente números racionales, aquellos expresables en forma de fracción.
También nosotros en nuestro día a día usamos estos números, cuando pagamos un
café o calculamos el tiempo que vamos a tardar en llegar a la oficina o medimos el tamaño del mueble
que queremos comprar para una habitación y, sin embargo, los números
irracionales están más en nuestra vida que lo que pensamos. Para comprender
como los manejaban con sus limitadas matemáticas, olvidémonos de nuestro
prejuicio de "la medida" y pensemos que algunos irracionales eran
fácilmente representados mediante una
construcción euclidiana, con una regla no graduada y un compás.
Por ejemplo, algo simple que conoce
todo el que haya estudiado dibujo técnico, es la forma de dibujar un
cuadrado. Partimos de una larga recta
(por definición es infinita) abrid el compás y fijarlo, esta distancia sobre la
recta va ser el lado, luego haced los siguientes pasos.
1.
Hacemos círculos en los extremos del segmento.
2.
Abrimos un poco más el compás y hacemos nuevos círculos
con centros en los nuevos puntos de
corte en la recta. Unimos con una recta los puntos de cruce. De esta forma
tenemos definida las rectas de los dos lados ortogonales del cuadrado.
3.
Ahora es fácil trasladar los lados a las rectas
ortogonales, con un arco circular con centro en los extremos del segmento
original y radio la longitud de éste.
4.
Ya solo queda unir con la regla los puntos de corte
para cerrar nuestro cuadrado con el lado paralelo al inicial.
De esta
construcción tan básica podemos tomar la relación entre el lado y la diagonal
que es √2. De igual forma es fácil encontrar otros inconmensurables como phi, √3 y √5.
 |
Esta forma de representar números
irracionales ha sido intencionadamente usada en la arquitectura desde el
comienzo de los tiempos. En el caso de Egipto es particularmente importante √2,
que se deduce del llamado Teorema de
Pitágoras - conocido ya por los antiguos egipcios-. En particular aparece a
partir de los números enteros o proporciones 3-4-5 dentro del llamado triángulo
sagrado egipcio, usado para formar ángulos rectos.
En todo caso tenemos una
materialización de una idea, y para verificar la presencia de determinados
números o más bien proporciones vamos a tener que proceder de forma inversa, a
partir de unas medidas, lo que matemáticamente no es correcto; pero no tenemos
otra forma de acercarnos al plano del arquitecto.
 |
| Codo egipcio en el Louvre (De Desconocido, CC BY-SA 2.0 fr, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=389600) |
Siendo así podemos intentar
determinar con precisión el valor del cr. Según
los patrones físicos encontrados que podemos ver en los museos como varas
graduadas, el cr mediría en torno a 0,524 m[iv].
De hecho no miden todos exactamente lo mismo. Se dice que una buena referencia
se encuentra en la Cámara Real de la Gran Pirámide, ya que mide exactamente 10,48 m x 5,24 m , con una precisión de
1 mm , lo
que nos permite interpretar la alta precisión con la que se realizó está
pirámide, que va más allá de la moderna arquitectura, hagan la prueba y midan
con esta precisión en casa- con un medidor láser - las dimensiones de sus
habitaciones.
Haciendo
una correlación con precisión de una décima de milímetro he llegado a la
conclusión que la medida que más se aproxima es 0.5238 para las pirámides de la
IV dinastía y 0.5240 para las posteriores.
Ahora
bien, lo realmente importante es que podemos ajustar el valor del cr pues la
longitud del lado de la base es múltiplo de 5 y frecuentemente de 10.
En conclusión, las pirámides perfectas guardan un
patrón geométrico -forma- y una relación de semejanza -tamaño-:
Ø
La forma
geométrica queda definida perfectamente por el sequed o pendiente de sus caras
entre 20 y 25, excepcionalmente 29 (pirámide roja).
Ø
El tamaño es
función de las medidas del lado, un múltiplo
de 5 en cr. Un múltiplo de 10 salvo la más antigua, la de Huny.
Por tanto, ateniéndonos a los datos
expuestos, ya conocemos con bastante precisión la medida del cr y la forma
geométrica, requisitito previo para verificar la supuesta presencia de números
como π, φ. Pero antes de entrar en ello
les advierto que tenemos que ser escépticos, pues la egiptología no admite conocimientos
matemáticos avanzados para los egipcios constructores de pirámides. (Si aún no
lo han hecho, vean LAS MATEMÁTICAS DE
LOS CONSTRUCTORES DE LAS PIRÁMIDES).
Quiero
recordar en primer lugar que, aunque se
habla de La Gran Pirámide como algo singular
en cuanto a geometría, no lo es. La primera pirámide de forma perfecta
(Huny) y la construida siglo y medio después de Niuserra, son semejantes a la
de Keops y, por tanto, comparten las mismas proporciones geométricas. Entonces,
hagan un esfuerzo de abstracción y no piensen en la medida sino en las
proporciones o relaciones geométricas tal como se desarrolla en el pensamiento matemático griego, con una regla no graduada y
un compás. En este sentido el término "logos" tiene entre sus
acepciones originales este concepto de proporción respecto a un patrón.
Entonces, ¿Cuál es el logos universal?
Hay bastante consenso en que fue el cuerpo humano,
por eso el sistema de medida antiguo era un sistema antropométrico. Si observamos en el Hombre de Vitruvio (HV a partir de
ahora) podemos ver el sistema de proporciones del canon antropométrico clásico,
en el que "codo" o "pie" es una proporción. Dejemos claro
esto, pues frecuentemente vemos la confusión, patrones (medidas) del "codo" o "pie"
hay muchos en la bibliografía.
Sin embargo
¿hubo un modelo humano universal para establecer la medida?
Este
es un debate abierto actualmente, que vamos a tratar. La alternativa al modelo
humano sería La Tierra por motivos prácticos obvios. Pero la toma en
consideración de un sistema de medidas basado en el tamaño del planeta hace más
de 4.000 años choca con lo admitido
hasta ahora para el conocimiento matemático y astronómico de las primeras
civilizaciones.
Lo
que si es evidente es que el canon antropométrico extendido por el mundo
antiguo fue heredado del mundo egipcio, manteniéndose hasta la llegada del
sistema métrico decimal cuando se define el metro por primera vez como 1/10.000.000
parte del semiarco meridiano terrestre (1/4 de la circunferencia terrestre
polar). Como la Tierra no es una esfera (esto se sabía ya cuando se determinó
el metro) y la precisión de las medidas aumentó, hizo que no fuese un patrón
fiable, por lo que se buscó otras formas de definirlo hasta la actualidad, en
que se usa la velocidad de la luz, la gran constante universal.
Sin
embargo, el sistema de medidas antiguo, que en apariencia es un galimatías pues
hay infinidad de patrones locales, tiene sin embargo unas características
comunes que pasan por unas proporciones antropométricas. Esto se manifiesta por
la presencia de múltiplos como 3, 4, 12 (se suele hablar de phi, pero
obviamente para la vida diaria es mejor usar 1+1/2 que la proporción áurea).
Por otro lado, nuestro cuerpo tiene simetrías,
o paridades, por lo que la proporción 2 y sus múltiplos es igualmente
natural, en definitiva uniendo ambos tenemos múltiplos de 3 y 2. Es así como
formamos el sistema sexagesimal derivado, según parece, de la anatomía de la
mano: contando las 3 falanges del dedo,
por 4 dedos de un palmo, que son 12;
por 5 dedos de la otra mano-que suma las docenas-, dan el total de 60.
Sería
más atrevido especular sobre la presencia en los patrones tradicionales de la
medida de la Tierra, por la relación con el metro.
En primer lugar puedo mencionar la toesa,
la medida francesa con la que se mide por primera vez la Tierra, de valor muy cercana a 2 metros y equivalente a 2
brazas, 4 codos o la altura del hombre; pero una que desconcertó a algunos
científicos napoleónicos al llegar a Egipto fue el patrón con que se
construyeron las pirámides. Así se establece una relación del codo real egipcio
(cr) con el metro muy curiosa, en la que parece entrar en juego el sistema
decimal y sexagesimal, pues un 1/6 del arco de una circunferencia de 1
m de diámetro es equivalente a la medida del codo real (cr).
Esto es en nuestro SMD cr = π/6
 |
| Supongamos nuestro reloj con su división sexagesimal. El arco de una hora es para un circulo de radio 1 m, (30º), la medida del cr. |
Será un tema para profundizar, más adelante.
La
cercanía en la proporcionalidad de la medida terrestre y patrones antiguos como
la yarda y toesa, es solamente una especulación. Mientras que, en mi opinión,
la hipótesis de un patrón humano y otro
terráqueo, no son excluyentes. Resulta evidente que el sistema de medidas
obedece al canon humano; por tanto, en un principio debió tomarse un modelo
humano arbitrario; pero creo que, en cuanto se alcanzó la suficiente capacidad
matemática se utilizó la Tierra como modelo para el patrón. En este sentido el
valor del patrón vendría definido por el sistema numérico usado -probablemente
sexagesimal- y su proximidad a la medida humana. Este ajuste se ha realizado también con el
metro, primero proporcionado al meridiano terrestre para finalmente acabar por
hacerlo con la velocidad de la luz.
En
este sentido recuerdo que al crear el metro se elige un sistema decimal. Aparentemente
debió de ser la parte más aceptable del sistema, pues es muy sencillo expresar
los múltiplos y submúltiplos como potencias de 10. Sin embargo algunos autores
piensan que no, al contrario fue la parte que tuvo más reticencias frente a la
costumbre del antiguo sistema. Probablemente la medida del nuevo patrón era
bastante asimilable por su cercanía con las medidas usadas, como la yarda
inglesa, la toesa francesa (casi 2
m ) o la vara
castellana (3.5 varas casi 1 m ).
Podría
argüirse que la correspondencia de estas medidas al metro, lo son por estar
derivadas de una medida anterior de la Tierra. O que obedezcan únicamente a que
la elección del metro se realizó teniendo en cuenta esta cercanía, pues podría
haberse tomado de otra forma, como una parte decimal del ecuador, por ejemplo.
Sin embargo, hay motivos prácticos para elegir el meridiano, como explicaré si tengo ocasión, a finales del
siglo XVIII medir la latitud era algo
cotidiano para la navegación, no así la longitud que resultaba muy imprecisa.
Obviamente
un metro que fuese a la vez una proporción decimal de la Tierra y del hombre
podría ser el actual patrón del SMD pero llevaría al canon humano a los 2 m de talla o distancia entre
los extremos de los brazos extendidos en cruz. Sería un ideal humano bastante
alto, especialmente para la antigüedad.
Siendo
así que el canon original propuesto mayoritariamente es más discreto, por
ejemplo un hombre de codo de 6 palmos y dedo igual a 1.87 cm mediría
24*1.87*4=179.52 cm. En este sentido este hombre conforme al canon del HV tendría un codo extendido un palmo (6+1)
igual al cr. Me resulta difícil establecer este patrón universalmente si no
fuese derivado de la medida de la Tierra, no de la altura de un hombre.
Volvamos a π,Φ
¿Es cierto que están “escondidos” en la geometría de la Gran Pirámide de Keops?
De lo que
sabemos, los egipcios no conocían los números irracionales[v],
aquellos que no pueden representarse de la forma a/b. En particular no aparece referencia en sus papiros a
"pi" y, sin embargo, muchos se
atreven a decir que si dividimos el perímetro y
el doble de la altura obtenemos el “pi” encerrado en la gran pirámide:
π ≈
1760 / 560 = 22/7 = 3,14285714285714
Esta aproximación sería mejor que la
usada en los problemas de los escribas, como una relación entre la superficie
de una circunferencia y la de un cuadrado como 8/9. Lo sorprendente de todo
esto es que incluso 22/7 es de una pobre precisión comparada con la precisión que
muestra la arquitectura de la Gran
Pirámide (recuerden la diferencia mínima entre los lados de la base o las
medidas de la cámara real).
Cuesta admitir sin más, con este enunciado tan simple, el conocimiento de pi,
sería tan absurdo como decir que los egipcios conocían pi puesto que sus carros
tenían ruedas redondas, ya que dividendo el perímetro de la rueda entre el
ancho -diámetro- aparece pi.
Pero sigamos el juego de las
coincidencias. Una supuesta justificación de esta relación se encuentra en que
presumiblemente el arquitecto intentó plasmar el "juego" de la
cuadratura del circulo[vi].
En realidad, lo que vendría a expresarse es que el circulo con radio igual a la
altura tendría una longitud similar al perímetro del cuadrado de la base. Obviamente esto se debe al hecho de elegir una
pendiente determinada que, según hemos visto,
obedece a un sequed 22; luego, esta sorprendente particularidad aparece
en todas las otras pirámides con este sequed, debiendo ser mera coincidencia,
de lo contrario habría que suponer que la proporción 22/7 se definió como
aproximación racional a pi, previo al sistema de medidas egipcios, que
derivaría de ello ( lo sé, no tiene pies ni cabeza).
Así la
relación entre el cr y su submúltiplo el palmo sería:
22 palmos es
22/7=3,14 cr
Sea una
circunferencia de 22 palmos, su diámetro
sería pi.
Sea un
circulo de 3.14 cr, su diámetro seria
cr.
Dejemos de
momento en suspense la aparición de pi, y vayamos a phi
Antes comenté que el sequed de 21 era el más
usado, es el de la pirámide de Kefrén, entre otras. Se dice que su uso obedece al triángulo
pitagórico o triangulo sagrado egipcio, 3-4-5. Esto es, un triángulo en
progresión aritmética.
Para kefren 205 (mitad del lado) -275 (altura)-343 (apotema cara) (en Cr)
Puesto que 205/3=275/4=343/5
No tiene nada de extraordinario, dado que este triángulo era de uso común en el Antiguo Egipto para formar ángulos rectos. Salvo por un pequeño detalle, el sequed.
Ciertamente esta propiedad solo aparece con una precisa pendiente de la cara de la pirámide, la hipotenusa de nuestro triángulo.
En la web
Gaussianos encontré un estudio de los triángulos de este tipo, los llamados
triángulos pitagóricos.
Es decir, el
problema que consiste en encontrar tres números enteros positivos x,
y, z que cumplan que x2+y2=z2. A
cada terna de números enteros positivos que cumplan esta ecuación la
llamaremos terna pitagórica. Todo triángulo que cumpla esta relación con
sus tres lados números enteros positivos se denomina triángulo pitagórico.
El teorema de
Pitágoras nos permite encontrar el tercer número z que cumpla esa ecuación, pero no
podemos asegurar que ese z sea
también entero positivo. Podría ser racional o incluso irracional. En este post
vemos un método para encontrar todas las ternas pitagóricas,
denominado método analítico, y la demostración del mismo.
Cada terna
pitagórica primitiva puede construirse a partir de dos números enteros
positivos p y q primos relativos, de distinta paridad y con p > q de la
siguiente forma:
(2pq, p2-q2, p2+q2)Obviamente 3-4-5 es la primera de estas ternas.
https://www.gaussianos.com/como-contruir-triangulos-pitagoricos/
¿Es posible superar esto? Supongamos que en lugar
de usar una terna en progresión aritmética es en progresión geométrica. En las pirámides de sequed 22 como Keops, tenemos una
pendiente con la que nos acercamos mucho
a una progresión geométrica de razón phi. Un triángulo muy particular, llamado triángulo de Price.
El único triángulo rectángulo que cumple c1/c2= c2/h, siendo c1,c2 los catetos menor y mayor y h la hipotenusa. Esto es:1/√Φ=√Φ /Φ
Es aquí donde
nos topamos con la ínclita divina proporción.
Ya desde la antigüedad
(periodo helenístico) existía la creencia de que las proporciones de la Gran
pirámide estaban relacionadas con la proporción áurea, algo que tampoco debe
extrañar pues todos los grandes arquitectos de la antigüedad clásica la usaron.
Según el historiador Heródoto, los Egipcios construyeron ésta de tal forma que
el área de cada una de las caras triangulares laterales coincidiera con el área
de un cuadrado de lado igual a la altura, o dicho de otro modo la proporción
entre la apotema (altura de una cara) y el lado es φ/2. Esto se cumple
únicamente si el triángulo rectángulo formado por la altura y apotema para un
lado de la pirámide igual a 2, la altura es √φ y la apotema φ.
El constructor
Hemiunu pudo muy bien elegir unas determinadas proporciones de la obra si
pensaba en esta proporción.
El sequed 22
lo forma el angulo 51º50'34'' cuya
tangente es 1,2727272727... Observemos que este número elevado al cuadrado es
1,6198347107438.
Por
definición phi es =(1+√5)/2= 1,61803398874989
Para una
coincidencia exacta el ángulo debería de ser 51º49' 38,2525427559221''.
La proporción 22/28
del sequed pudiera parecer una casualidad en las pirámides de Nyuserra y Huny,
pero no en Keops. Con esta pendiente y un lado cualquiera no aparece una
relación entera con la altura en cr, salvo en la Gran
Pirámide.
Nyuserra de
lado 150 cr y altura = (150/2)*28/22=96,0909090909091
cr
Huny de lado
275 cr y altura= (275/2)*28/22= 108,035714285714 cr
Mientras
que la altura en la pirámide de keops es
exactamente 280 cr.
Hay una clara
intencionalidad de que el lado fuese multiplo de 22 para que
de igual forma la altura sea multiplo de 28.
La pendiente
de la cara es 280/220 ó 14/11
14/11=1.27272727...
≈ √Φ
Con una
aproximación bastante buena, √Φ=1,27201964...
Precisión de un 0,055 % de error relativo. Lo
que me dejó perplejo, ¿es realmente una casualidad?
Es que el
triángulo rectángulo formado por la apotema, con la altura y el semi-lado está casi
en progresión geométrica de phi. Únicamente hay un triángulo con esta
progresión y se le llama triangulo de Kepler.
1 : φ½ : φ
1 : φ : φ2
obviamente φ2 = φ +1 si φ2 = ( φ½)2 +
(1)2
Volviendo a
la supuesta presencia de pi, podemos concluir que la aproximación se debe a que
4/√φ ≈ 22/7 =3,14285714285714 ≈π, como ya vimos.
Por tanto, parece
evidente que Hemiunu intencionadamente formó el triángulo de Kepler no así pi. Resulta por tanto descartable la intencionalidad del
sequed para obtener una proporción cercana a pi, es casual, no obstante
es de una imprecisión 4 veces superior a la de las medidas de la cámara del
rey.
Pero
esto nos obliga a considerar que algo
más que la pendiente debió de tenerse en cuenta. La pendiente es una propiedad
geométrica y por tanto independiente del sistema de medidas, no así el sequed.
Que depende de la proporción del codo real egipcio y su submúltiplo (22 dedos o
5,5 palmos). Supongamos que en lugar de
utilizarse el Cr se usara el común Cn.
Es fácil comprobar como no obtendremos una proporción 14/11, las más
cercana sería 24/19=1,263158. Con un error relativo de 0,7%.
Es ese palmo extra que hace al cr divisor de
7 el que permite ,junto con el divisor 4 del dedo, la gran precisión de √Φ.Sentí curiosidad y decidí investigar más sobre el posible origen de este sistema de medidas egipcio.
Será en la próxima entrada.
Notas:
[i] También llamado Dyeser. Advierto que en
adelante igualmente pasa con muchos nombres de faraones que aparecen en la
bibliografía de forma distinta, como ocurre con el propio Keops que es una
trascripción griega de otras denominaciones castellanizadas como Jufu. Ténganlo
en cuenta en adelante, pues no creo que valga la pena estar repitiendo los
distintos nombres.
[ii]
Se utilizan frecuentemente las mediciones del
egiptólogo británico Sir William Matthew Flinders Petrie que fueron tomadas en
pulgadas. ¿Creen que una pulgada (inch) son 2.54 cm ? Si fuese cierto
significaría que la unidad m del sistema métrico fue tomada a partir de la
pulgada anglosajona. Lo que es absurdo. Pues tomando dos medidas al azar en la
naturaleza, tomando una como patrón la otra tendría una medida infinitamente
decimal. Esto no es cierto, la pulgada como patrón no ha sido una medida fija y
es arbitraria, mientras solamente en la actualidad por motivos prácticos se usa
la conversión exacta.
Es más, existe una diferencia entre las pulgadas en
Europa y América.
En Europa = 2.539998 centímetros.
En América = 2.54000508 centímetros.
[iii] El Papiro Matemático Rhind (RMP) es el libro de texto más antiguo
de su tipo en el mundo. Se trata de una copia realizada por el escriba Ahmose
en el siglo XVI a.C, que fue encontrado en
Tebas en la década de 1850; el original se remontaría a la época de los grandes
constructores de pirámides. Fue comprado en Luxor por Alexander Henry
Rhind, adquirido finalmente por el Museo Británico en 1865. El anverso de Bm
10057 está en exhibición permanente detrás vidrio en la tercera sala egipcia.
[iv]
En realidad el codo real comienza teniendo un
valor cercano a 0.524 en las primeras pirámides. Inexplicablemente el patrón
irá alargándose de forma
progresiva con el paso de los siglos hasta pasar de 0.528.
[v]
Los egipcios tenían un dominio de los número racionales
aunque únicamente podían expresarse con sumas de fracciones con la unidad como
numerador o a lo sumo con la fracción 2/3 y más tardíamente con la expresión
3/4. Sin embargo se cree que no conocían los número irracionales y por tanto no
conocían pi, aunque podían calcular la longitud de la circunferencia o su área
mediante un método de aproximación.
Las fuentes matemáticas son documentos del imperio
medio, no tenemos por tanto de la época en que se construyeron las grandes
pirámides. El principal documento es el conocido como papiro Rhind, que fue una
copia del siglo XVI a.C. de un texto anterior del siglo XIX a.C.
[vi]
En realidad la cuadratura del circulo es un
antiguo rompecabezas que parte de la imposibilidad de demostrar que con la regla y el compás que se pueda
construir un cuadrado que tenga la misma
área que un círculo dado previamente. Esto es debido a que no puede obtenerse
como solución de una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean números
enteros, esto es, no es un número algebraico sino trascendente.
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