LA GEOMETRÍA DE LAS PIRÁMIDES

            Las grandes pirámides perfectas, de caras lisas y base cuadrada de la IV dinastía, se encuentran entre las obras más populares del antiguo Egipto. Dentro de una etapa de 8 siglos de construcciones, la mas sobresaliente es la colosal obra de Keops, a la que cuesta encuadrar históricamente ya que resulta un tanto desconcertante atribuir la autoría de esta pionera construcción a un reinado menor en cuanto a poderío, influencia regional y expresión artística, respecto a la del imperio posterior.

Imagen extraída de  pxhere

            Según la historia aceptada, el camino a la perfección de la construcción de pirámides es tan rápido que entre la pirámide escalonada construida por Inmhotep a la de Keops solo pasa un siglo, en el que se construyen otras tres obras colosales.

            Pongámonos en situación. Imhotep, en tiempos del rey Zoser[i] (2.650 a. C.) segundo faraón de la III dinastía, fue el autor del complejo funerario de la "Pirámide Escalonada" de Saqqara, cerca de Menfis​. ​ Esta pirámide serviría de modelo a las demás, sus sucesores en la dinastía iniciaron pirámides escalonadas y no acabadas hasta llegar el reinado de  Huny, o más bien su sucesor Seneferu que terminó la primera pirámide "clásica" monumental de base cuadrada y caras lisas en Meidum. Después, en Dahshur ordenó erigir dos pirámides más muy singulares, la Pirámide Acodada, construida con ocho caras laterales (cuatro triangulares y cuatro trapezoidales), y la Pirámide Roja, con forma de pirámide clásica  realizada con una perfección similar a la más famosa de su sucesor Jufu (Keops para Heródoto).

Pirámide escalonada de Zoser (Fuente De Charles J Sharp - Trabajo propio, from Sharp Photography, sharpphotography, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=32434567)

Pirámide acodada (Fuente: CC BY-SA 2.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=567433)

Pirámide roja (Fuente: CC BY-SA 2.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=949380)

            Esto supone que en un plazo de 846 años se construyen al menos 25 pirámides perfectas, desde la primera de Seneferu (iniciada por Huny en 2.612 a.C.) hasta la de Jendyer en el 1750 a.C. Supusieron una volumen total de 11,400  millones de m³ de piedra aproximadamente. Curiosamente las primeras, las tres pirámides de Seneferu  más la de su hijo Keops y la de Kefren, construidas todas en un plazo de 73 años, suponen un movimiento de piedra de cerca de 8,400 millones de m³ de piedra. Es decir que consumieron el 74% de todo el volumen de piedra, y además fueron las mejor construidas, de hecho el resto de pirámides generalmente son un montón de escombros.

En resumen:

·         En los primeros 73 años de la era de las pirámides se construyen las cinco más perfectas consumiendo el 74% de toda la piedra.

·         El resto de los ocho siglos, se construyen al menos 20 pirámides más cuya suma apenas es más de 1/4 del total y de las que muchas veces apenas queda rastro de su forma.

·         Con la piedra de  la pirámide de Keops podrían construirse casi 100 pirámides de 50 m de lado como las de Jendyer o Amosis I.

            Estos datos les puede sorprender pero hagan el cálculo de como crece en volumen una pirámide. Supongamos una serie de pirámides con idéntica forma o semejantes en términos matemáticos, lo que significa que tienen la misma pendiente de las caras. Pongamos una pendiente de 51º 50' 40", como la pirámide de Keops.

Lado	Altura	Volumen
50	31,8	26.515
100	63,6	212.123
150	95,4	715.916
200	127,3	1.696.987
230,4	146,6	2.594.394

            Solamente añadiendo los 30,4 m a la de 200 m para llegar al tamaño de la Gran Pirámide supone un volumen total de  2.594.394 m³, un incremento de un 53%.

            Tabla de las pirámides principales (Fuente: Wikipedia).

Faraón	Dinastía	Año a. C. aprox.	Situación	Geometría
				Lado N (m)	Lado E (m)	Altura (m)
Sejemjet	III	2638	Saqqara	120	120	70
Jaba	III	2633	Zawyet el-Aryan	83,8	83,8	40
Nebkara	IV	2620	Zawyet el-Aryan	180	110	(?)
Seneferu (1ª) (iniciada por Huny en 2612)	III/IV	2596	Meidum	144	144	92
Seneferu (2ª)	IV	2596	Dahshur	188	188	105
Seneferu (3ª)	IV	2582	Dahshur	220	220	104
Keops (Jufu)	IV	2557	Guiza	230,3	230,3	146,6
Dyedefra	IV	2549	Abu Roash	106,2	106,2	67 (?)
Kefrén (Jafra)	IV	2523	Guiza	215,2	215,2	143,5
Micerino (Menkaura)	IV	2502	Guiza	104,6	102,2	66,4
Shepseskaf	IV	2494	Saqqara	99,6	74,4	18,7
Jentkaus I	IV	2494	Saqqara	45,5	45,8	17,5
Userkaf	V	2484	Saqqara	73,3	73,3	49
Sahura	V	2470	Abusir	78,5	78,5	48
Neferirkara	V	2455	Abusir	104	104	72
Shepseskara	V	2450	Abusir	(?)	(?)	(?)
Neferefra-Isi (mastaba)	V	2440	Abusir	65	65	(?)
Nyuserra-Iny	V	2415	Abusir	78,5	78,5	50
Menkauhor-Ikauhor	V	2400	Saqqara (?)	68 (?)		(?)
Dyedkara-Isesi	V	2375	Saqqara	78,7	78,7	52,5
Unis	V	2345	Saqqara	57,7	57,7	43
Teti	VI	2325	Saqqara	78,7	78,7	52,5
Pepy I	VI	2300	Saqqara	78,7	78,7	52,5
Merenra I	VI	2265	Saqqara	78,7	78,7	52,5
Pepy II	VI	2200	Saqqara	78,7	78,7	52,5
Neferkara Neby	VII	2170	Saqqara (?)	(?)	(?)	(?)
Kakaura Ibi	VIII	2170	Saqqara	24 (?)	24 (?)	21,6 (?)
Jui	VIII	2170	Dara	144	138	(?)
Iti	VIII	2170	(?)	(?)	(?)	(?)
Merykara	X	2100	(?)	(?)	(?)	(?)
Amenemhat I	XII	1970	El-Lisht	84	84	59
Senusert I	XII	1940	El-Lisht	105,2	105,2	48,6
Amenemhat II	XII	1895	Dashur	50 (?)	50 (?)	(?)
Senusert II	XII	1878	El-Lahun	107	107	48,6
Amenemhat II	XII	1850	Dahshur	105	105	61,2
Amenemhat III (1ª)	XII	1820	Dahshur	105	105	75
Amenemhat III (2ª)	XII	1800	Hawara	102	102	58
Amenemhat IV	XII	1790	Mazghuna	52,5 (?)	52,5 (?)	(?)
Neferusobek	XII	1786	Mazghuna	52 (?)	52 (?)	(?)
Ameny Qemau	XIII	1760	Dahshur	49,5	49,5	(?)
Jendyer	XIII	1750	Saqqara	52,5	52,5	37,3
Amosis I	XVIII	1530	Abidos	52	40	(?)

           

            Durante 8 siglos se construirán pirámides siguiendo un patrón, pero antes de continuar hagamos una crítica fundamental acerca de las dimensiones de las pirámides. En muchos sitios en los que se sostienen diversas hipótesis acerca de la geometría piramidal se basan en unas medidas pretendidamente ciertas. Yo soy escéptico y no es mi intención convencerles sino darles datos para que reflexionen sobre ello. En términos matemáticos, comprenda que la precisión de la medida obtenida no tiene mucho valor, la única medida interesante es la que se encontraba en la cabeza del arquitecto, hoy diríamos la de los planos del proyecto. Entendiendo el significado de "la medida" como proporción tal como se explicó en las entradas anteriores,  sería interesante conocer ese logos o proporción en que se expresa la geometría de las pirámides. Por tanto, no importa mucho la exactitud de este valor ni tiene sentido matemático las medidas en metros o pulgadas;  sino de codos reales, como vamos a ver.

            En el mundo más académico se han usado las medidas de Petrie, luego ha habido otras medidas más modernas. En rigor, todas ellas tienen errores y no únicamente un error topográfico, esto es insignificante, lo de menos. Por ejemplo, las pirámides están muy deterioradas. ¡Hablamos de construcciones de hace 4.000 años! Algunas son un montón de escombros. ¿Cómo conocer su lado?  Un detalle que puede pasar inadvertido, es el error al pasar las medidas anglosajonas al SMD[ii].

            Ahora viene un punto importante. Si buscamos las medidas originales, según Petrie estaban en codos reales, por ello no resulta extraño que dada la incertidumbre de la "medida exacta" que nos ofrece el trabajo topográfico acercando la medida al milímetro o la décima de pulgada (en el caso del británico) se haga el redondeo de la medida en codos reales.  Llegado a este punto puede uno abandonar o admitir estas limitaciones. Desgraciadamente no he podido, ni creo que pueda, medir yo mismo las pirámides para asumir los errores de medición; pero si, puedo hacer el redondeo. Tengan por tanto en cuenta todo esto.

            Ahora nos quedaremos con las pirámides más perfectas e importantes para establecer cuales son los parámetros que se utilizaron en el diseño de estas construcciones.  Las medidas del lado las hemos expresado en tres "medidas" usualmente aceptadas del cr (codo real) y vemos su redondeo.

			medidas en codos reales
Pirámide	Lado      (m)	h     (m)	cr 0,523	cr 0,5238	cr 0,524	REDONDEO                  CR
Sejemjet	120	70	229,45	229,10	229,01	230
Jaba	83,8	40	160,23	159,98	159,92	160
Seneferu (1ª)	144	92	275,33	274,91	274,81	275
Seneferu (2ª)	188	105	359,46	358,92	358,78	360
Seneferu (3ª)	220	104	420,65	420,01	419,85	420
Keops (Jufu)	230,3	147	440,34	439,67	439,50	440
Kefrén (Jafra)	215,2	144	411,47	410,84	410,69	410
Micerino (Menkaura)	104,6	66,4	200,00	199,69	199,62	200
Jentkaus I	45,5	17,5	87,00	86,87	86,83	87
Userkaf	73,3	49	140,15	139,94	139,89	140
Sahura	78,5	48	150,10	149,87	149,81	150
Neferirkara	104	72	198,85	198,55	198,47	200
Nyuserra-Iny	78,5	50	150,10	149,87	149,81	150
Dyedkara-Isesi	78,7	52,5	150,48	150,25	150,19	150
Unis	57,7	43	110,33	110,16	110,11	110
Teti	78,7	52,5	150,48	150,25	150,19	150
Pepy I	78,7	52,5	150,48	150,25	150,19	150
Merenra I	78,7	52,5	150,48	150,25	150,19	150
Pepy II	78,7	52,5	150,48	150,25	150,19	150
Amenemhat I	84	59	160,61	160,37	160,31	160
Senusert I	105,2	48,6	201,15	200,84	200,76	200
Senusert II	107	48,6	204,59	204,28	204,20	204
Amenemhat III (1ª)	105	75	200,76	200,46	200,38	200
Amenemhat III (2ª)	102	58	195,03	194,73	194,66	195
Jendyer	52,5	37,3	100,38	100,23	100,19	100

Se puede apreciar como se puede redondear  en múltiplos de 5 el lado expresado en cr.

Igualmente es fácil encontrar como las pendientes (medida como tangente, tg) de las caras calculadas según las medidas en metros, a pesar del error de la medición, se acerca mucho a la teórica del sequed (tg sequed).

Pirámide	Lado       (m)	h   (m)	TG	TG SEQ	Sequed      (dedos)
Sejemjet	120	70	1,166667	1,166667	24
Jaba	83,8	40	0,954654	0,965517	29
Seneferu (1ª)	144	92	1,277778	1,272727	22
Seneferu (2ª)	188	105	1,117021	1,12	25
Seneferu (3ª)	220	104	0,945455	0,965517	29
Keops (Jufu)	230,3	147	1,273122	1,272727	22
Kefrén (Jafra)	215,2	144	1,333643	1,333333	21
Micerino (Menkaura)	104,6	66,4	1,269598	1,272727	22
Jentkaus I	45,5	17,5	0,769231	0,756757	37
Userkaf	73,3	49	1,336971	1,333333	21
Sahura	78,5	48	1,22293	1,217391	23
Neferirkara	104	72	1,384615	1,4	20
Nyuserra-Iny	78,5	50	1,273885	1,272727	22
Dyedkara-Isesi	78,7	52,5	1,33418	1,333333	21
Unis	57,7	43	1,490468	1,473684	19
Teti	78,7	52,5	1,33418	1,333333	21
Pepy I	78,7	52,5	1,33418	1,333333	21
Merenra I	78,7	52,5	1,33418	1,333333	21
Pepy II	78,7	52,5	1,33418	1,333333	21
Amenemhat I	84	59	1,404762	1,4	20
Senusert I	105,2	48,6	0,923954	0,933333	30
Senusert II	107	48,6	0,908411	0,903226	31
Amenemhat III (1ª)	105	75	1,428571	1,4	20
Amenemhat III (2ª)	102	58	1,137255	1,333333	21
Jendyer	52,5	37,3	1,420952	1,4	20

                        Recordemos que en geometría el término semejante hace alusión a igualdad de forma, independientemente del tamaño. Las formas de las pirámides perfectas de base cuadrada queda definida únicamente por la pendiente de sus caras, una proporción -un número-  que los antiguos egipcios lo llamaban sequed y era tan simple como nuestra pendiente en tantos por ciento.

            El sequed se representaba como  la pendiente de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos serian, el vertical igual al patrón de medida y el horizontal el número de submultiplos de esta unidad.

            Durante este periodo se usó como unidad fundamental el codo real y sus submúltiplos serian el palmo y dedo.

1 codo real (cr)= 7 palmos= 28 dedos.

Por tanto el sequed 22 era el de 22 dedos por codo.

            En el manuscrito Rhind[iii], un texto de problemas para los estudiantes escribas, aparecen problemas de cálculo de medidas de pirámides con uso de fracciones (recuerdo que los egipcios no usaban decimales). Así, por ejemplo, el problema 56 trata del cálculo del sequed de una pirámide de 250 codos de altura y 360 codos de lado en la base. La inclinación decimal podemos expresarla como 0,72 (72% de pendiente) es decir 20,16 dedos o, lo que es lo mismo, 5 palmos y 0,16 dedo. Los egipcios no usaban nuestra notación y no tenían decimales, así que lo expresaban como fracción de dedo y seria un sequed de 5 y 1/25 palmos por codo.

Siguiendo las medidas en la tabla vemos que las principales pirámides tiene un sequed de 20, 21, 22, 23, 24, 25 y 29. Siendo  la pendiente más usada la de 21 dedos por codo.

            Entonces tenemos un modelo geométrico de forma piramidal regular con base cuadrada definido únicamente por la pendiente de las caras. A la hora de mostrarle al faraón el futuro proyecto solamente habría que mostrarle la forma de sequed 20, 21, ....etc; mientras que el tamaño, vendría definido por el lado que lógicamente sería una cantidad entera de unidades.

            En consecuencia, otras medidas usadas por los estudiosos del tema como la altura, la diagonal de la base o la pendiente de la arista son derivadas del lado y pendiente de la cara; por lo que sus números no parece que definan la pirámide. En este sentido se ha escrito mucho sobre ciertos números o proporciones que aparecen a partir de las medidas, como es el caso de pi dentro la geometría de la Gran Pirámide de Keops. ¿Es posible determinar esto?

            Dicen que los egipcios conocían únicamente números racionales, aquellos expresables en forma de fracción. También nosotros en nuestro día a día usamos estos números, cuando pagamos un café o calculamos el tiempo que vamos a tardar en llegar  a la oficina o medimos el tamaño del mueble que queremos comprar para una habitación y, sin embargo, los números irracionales están más en nuestra vida que lo que pensamos. Para comprender como los manejaban con sus limitadas matemáticas, olvidémonos de nuestro prejuicio de "la medida" y pensemos que algunos irracionales eran fácilmente representados mediante una  construcción euclidiana, con una regla no graduada y un compás.

            Por ejemplo, algo simple que conoce todo el que haya estudiado dibujo técnico, es la forma de dibujar un cuadrado.  Partimos de una larga recta (por definición es infinita) abrid el compás y fijarlo, esta distancia sobre la recta va ser el lado, luego haced los siguientes pasos.

1.      Hacemos círculos en los extremos del segmento.

2.      Abrimos un poco más el compás y hacemos nuevos círculos con centros en los nuevos  puntos de corte en la recta. Unimos con una recta los puntos de cruce. De esta forma tenemos definida las rectas de los dos lados ortogonales del cuadrado.

3.      Ahora es fácil trasladar los lados a las rectas ortogonales, con un arco circular con centro en los extremos del segmento original y radio la longitud de éste.

4.      Ya solo queda unir con la regla los puntos de corte para cerrar nuestro cuadrado con el lado paralelo al inicial.

De esta construcción tan básica podemos tomar la relación entre el lado y la diagonal que es √2. De igual forma es fácil encontrar otros inconmensurables  como phi, √3 y √5.

            Esta forma de representar números irracionales ha sido intencionadamente usada en la arquitectura desde el comienzo de los tiempos. En el caso de Egipto es particularmente importante √2,  que se deduce del llamado Teorema de Pitágoras - conocido ya por los antiguos egipcios-. En particular aparece a partir de los números enteros o proporciones 3-4-5 dentro del llamado triángulo sagrado egipcio, usado para formar ángulos rectos.

            En todo caso tenemos una materialización de una idea, y para verificar la presencia de determinados números o más bien proporciones vamos a tener que proceder de forma inversa, a partir de unas medidas, lo que matemáticamente no es correcto; pero no tenemos otra forma de acercarnos al plano del arquitecto.

      

Codo egipcio en el Louvre (De Desconocido, CC BY-SA 2.0 fr, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=389600)

      Siendo así podemos intentar determinar con precisión el valor del cr. Según los patrones físicos encontrados que podemos ver en los museos como varas graduadas, el cr mediría en torno a 0,524 m[iv]. De hecho no miden todos exactamente lo mismo. Se dice que una buena referencia se encuentra en la Cámara Real de la Gran Pirámide, ya que mide exactamente 10,48 m x 5,24 m, con una precisión de 1 mm, lo que nos permite interpretar la alta precisión con la que se realizó está pirámide, que va más allá de la moderna arquitectura, hagan la prueba y midan con esta precisión en casa- con un medidor láser - las dimensiones de sus habitaciones.

            Haciendo una correlación con precisión de una décima de milímetro he llegado a la conclusión que la medida que más se aproxima es 0.5238 para las pirámides de la IV dinastía y 0.5240 para las posteriores.

            Ahora bien, lo realmente importante es que podemos ajustar el valor del cr pues la longitud del lado de la base es múltiplo de 5 y frecuentemente de 10.

En conclusión, las pirámides perfectas guardan un patrón geométrico -forma- y una relación de semejanza -tamaño-:

Ø  La forma geométrica queda definida perfectamente por el sequed o pendiente de sus caras entre 20 y 25, excepcionalmente 29 (pirámide roja).

Ø  El tamaño es función de las medidas del lado,  un múltiplo de 5 en cr. Un múltiplo de 10 salvo la más antigua, la de Huny.

            Por tanto, ateniéndonos a los datos expuestos, ya conocemos con bastante precisión la medida del cr y la forma geométrica, requisitito previo para verificar la supuesta presencia de números como  π, φ. Pero antes de entrar en ello les advierto que tenemos que ser escépticos,  pues la egiptología no admite conocimientos matemáticos avanzados para los egipcios constructores de pirámides. (Si aún no lo han hecho, vean LAS MATEMÁTICAS DE LOS CONSTRUCTORES DE LAS PIRÁMIDES).  

            Quiero recordar en primer lugar que,  aunque se habla de La Gran Pirámide como algo singular  en cuanto a geometría, no lo es. La primera pirámide de forma perfecta (Huny) y la construida siglo y medio después de Niuserra, son semejantes a la de Keops y, por tanto, comparten las mismas proporciones geométricas. Entonces, hagan un esfuerzo de abstracción y no piensen en la medida sino en las proporciones o relaciones geométricas tal como se desarrolla en el pensamiento  matemático griego, con una regla no graduada y un compás. En este sentido el término "logos" tiene entre sus acepciones originales este concepto de proporción respecto a un patrón. Entonces,  ¿Cuál es el logos universal?

            Hay  bastante consenso en que fue el cuerpo humano, por eso el sistema de medida antiguo era un  sistema antropométrico. Si observamos en el Hombre de Vitruvio (HV a partir de ahora) podemos ver el sistema de proporciones del canon antropométrico clásico, en el que "codo" o "pie" es una proporción. Dejemos claro esto, pues frecuentemente vemos la confusión, patrones  (medidas) del "codo" o "pie" hay muchos en la bibliografía.

            Sin embargo ¿hubo un modelo humano universal para establecer la medida?

            Este es un debate abierto actualmente, que vamos a tratar. La alternativa al modelo humano sería La Tierra por motivos prácticos obvios. Pero la toma en consideración de un sistema de medidas basado en el tamaño del planeta hace más de 4.000 años  choca con lo admitido hasta ahora para el conocimiento matemático y astronómico de las primeras civilizaciones.

            Lo que si es evidente es que el canon antropométrico extendido por el mundo antiguo fue heredado del mundo egipcio, manteniéndose hasta la llegada del sistema métrico decimal cuando se define el metro por primera vez como 1/10.000.000 parte del semiarco meridiano terrestre (1/4 de la circunferencia terrestre polar). Como la Tierra no es una esfera (esto se sabía ya cuando se determinó el metro) y la precisión de las medidas aumentó, hizo que no fuese un patrón fiable, por lo que se buscó otras formas de definirlo hasta la actualidad, en que se usa la velocidad de la luz, la gran constante universal.

            Sin embargo, el sistema de medidas antiguo, que en apariencia es un galimatías pues hay infinidad de patrones locales, tiene sin embargo unas características comunes que pasan por unas proporciones antropométricas. Esto se manifiesta por la presencia de múltiplos como 3, 4, 12 (se suele hablar de phi, pero obviamente para la vida diaria es mejor usar 1+1/2 que la proporción áurea). Por otro lado, nuestro cuerpo tiene simetrías,  o paridades, por lo que la proporción 2 y sus múltiplos es igualmente natural, en definitiva uniendo ambos tenemos múltiplos de 3 y 2. Es así como formamos el sistema sexagesimal derivado, según parece, de la anatomía de la mano: contando las 3 falanges del dedo,  por 4 dedos de un palmo, que son 12;  por 5 dedos de la otra mano-que suma las docenas-, dan el total de 60.

            Sería más atrevido especular sobre la presencia en los patrones tradicionales de la medida de la Tierra, por la relación con el metro. En primer lugar  puedo mencionar la toesa, la medida francesa con la que se mide por primera vez la  Tierra, de valor  muy cercana a 2 metros y equivalente a 2 brazas, 4 codos o la altura del hombre; pero una que desconcertó a algunos científicos napoleónicos al llegar a Egipto fue el patrón con que se construyeron las pirámides. Así se establece una relación del codo real egipcio (cr) con el metro muy curiosa, en la que parece entrar en juego el sistema decimal y sexagesimal, pues un 1/6 del arco de una circunferencia de  1 m de diámetro es equivalente a la medida del codo real (cr).

Esto es en nuestro SMD  cr = π/6

Supongamos nuestro reloj con su división sexagesimal. El arco de una hora es para un circulo de radio 1 m, (30º),  la medida del cr.

 Esta aproximación hace un cr=0,523598776; prácticamente el valor obtenido como más preciso para las primeras pirámides como cr=0.5236

Será un tema para profundizar, más adelante.

            La cercanía en la proporcionalidad de la medida terrestre y patrones antiguos como la yarda y toesa, es solamente una especulación. Mientras que, en mi opinión, la hipótesis de un patrón  humano y otro terráqueo, no son excluyentes. Resulta evidente que el sistema de medidas obedece al canon humano; por tanto, en un principio debió tomarse un modelo humano arbitrario; pero creo que, en cuanto se alcanzó la suficiente capacidad matemática se utilizó la Tierra como modelo para el patrón. En este sentido el valor del patrón vendría definido por el sistema numérico usado -probablemente sexagesimal- y su proximidad a la medida humana.  Este ajuste se ha realizado también con el metro, primero proporcionado al meridiano terrestre para finalmente acabar por hacerlo con la velocidad de la luz.

            En este sentido recuerdo que al crear el metro se elige un sistema decimal. Aparentemente debió de ser la parte más aceptable del sistema, pues es muy sencillo expresar los múltiplos y submúltiplos como potencias de 10. Sin embargo algunos autores piensan que no, al contrario fue la parte que tuvo más reticencias frente a la costumbre del antiguo sistema. Probablemente la medida del nuevo patrón era bastante asimilable por su cercanía con las medidas usadas, como la yarda inglesa, la toesa francesa (casi 2 m)  o la vara castellana (3.5 varas casi 1 m).

            Podría argüirse que la correspondencia de estas medidas al metro, lo son por estar derivadas de una medida anterior de la Tierra. O que obedezcan únicamente a que la elección del metro se realizó teniendo en cuenta esta cercanía, pues podría haberse tomado de otra forma, como una parte decimal del ecuador, por ejemplo. Sin embargo, hay motivos prácticos para elegir el meridiano,  como explicaré si tengo ocasión, a finales del siglo XVIII  medir la latitud era algo cotidiano para la navegación, no así la longitud que resultaba muy imprecisa.

            Obviamente un metro que fuese a la vez una proporción decimal de la Tierra y del hombre podría ser el actual patrón del SMD pero llevaría al canon humano  a los  2 m de talla o distancia entre los extremos de los brazos extendidos en cruz. Sería un ideal humano bastante alto, especialmente para la antigüedad.

            Siendo así que el canon original propuesto mayoritariamente es más discreto, por ejemplo un hombre de codo de 6 palmos y dedo igual a 1.87 cm mediría 24*1.87*4=179.52 cm. En este sentido este hombre conforme al canon del  HV tendría un codo extendido un palmo (6+1) igual al cr. Me resulta difícil establecer este patrón universalmente si no fuese derivado de la medida de la Tierra, no de la altura de un hombre.

Volvamos a π,Φ ¿Es cierto que están “escondidos” en la geometría de la Gran Pirámide de Keops?

De lo que sabemos, los egipcios no conocían los números irracionales[v], aquellos que no pueden representarse de la forma a/b. En particular  no aparece referencia en sus papiros a "pi" y, sin embargo,  muchos se atreven a decir que si dividimos el perímetro y el doble de la altura obtenemos el “pi” encerrado en la gran pirámide:

π ≈ 1760 / 560 = 22/7 = 3,14285714285714

            Esta aproximación sería mejor que la usada en los problemas de los escribas, como una relación entre la superficie de una circunferencia y la de un cuadrado como 8/9. Lo sorprendente de todo esto es que incluso 22/7 es de una pobre precisión comparada con la precisión que muestra  la arquitectura de la Gran Pirámide (recuerden la diferencia mínima entre los lados de la base o las medidas de la cámara real).

         Cuesta admitir sin más, con este  enunciado tan simple, el conocimiento de pi, sería tan absurdo como decir que los egipcios conocían pi puesto que sus carros tenían ruedas redondas, ya que dividendo el perímetro de la rueda entre el ancho -diámetro- aparece pi.

            Pero sigamos el juego de las coincidencias. Una supuesta justificación de esta relación se encuentra en que presumiblemente el arquitecto intentó plasmar el "juego" de la cuadratura del circulo[vi]. En realidad, lo que vendría a expresarse es que el circulo con radio igual a la altura tendría una longitud similar al perímetro del cuadrado de la base.  Obviamente esto se debe al hecho de elegir una pendiente determinada que, según hemos visto,  obedece a un sequed 22; luego, esta sorprendente particularidad aparece en todas las otras pirámides con este sequed, debiendo ser mera coincidencia, de lo contrario habría que suponer que la proporción 22/7 se definió como aproximación racional a pi, previo al sistema de medidas egipcios, que derivaría de ello ( lo sé, no tiene pies ni cabeza).

Así la relación entre el cr y su submúltiplo el palmo sería:

22 palmos es 22/7=3,14 cr

Sea una circunferencia de 22 palmos, su  diámetro sería pi. 

Sea un circulo de 3.14 cr, su diámetro seria  cr.

Dejemos de momento en suspense la aparición de pi, y vayamos a phi

Antes comenté que el sequed de 21 era el más usado, es el de la pirámide de Kefrén, entre otras.  Se dice que su uso obedece al triángulo pitagórico o triangulo sagrado egipcio, 3-4-5. Esto es, un triángulo en progresión aritmética.

Para kefren 205 (mitad del lado) -275 (altura)-343 (apotema cara) (en Cr)
Puesto que 205/3=275/4=343/5

No tiene nada de extraordinario, dado que este triángulo era de uso común en el Antiguo Egipto para formar ángulos rectos. Salvo por un pequeño detalle, el sequed.
Ciertamente esta propiedad solo aparece con una precisa pendiente de la cara de la pirámide, la hipotenusa de nuestro triángulo.

En la web Gaussianos encontré un estudio de los triángulos de este tipo, los llamados triángulos pitagóricos.

Es decir, el problema que consiste en encontrar tres números enteros positivos x, y, z que cumplan que  x²+y²=z². A cada terna de números enteros positivos que cumplan esta ecuación la llamaremos terna pitagórica. Todo triángulo que cumpla esta relación con sus tres lados números enteros positivos se denomina triángulo pitagórico.

El teorema de Pitágoras  nos permite encontrar el tercer número z que cumpla esa ecuación, pero no podemos asegurar que ese  z sea también entero positivo. Podría ser racional o incluso irracional. En este post vemos un método para encontrar todas las ternas pitagóricas, denominado método analítico, y la demostración del mismo.

Cada terna pitagórica primitiva puede construirse a partir de dos números enteros positivos p y q primos relativos, de distinta paridad y con p > q de la siguiente forma:

(2pq, p²-q², p²+q²)
Obviamente 3-4-5 es la primera de estas ternas.
https://www.gaussianos.com/como-contruir-triangulos-pitagoricos/

¿Es posible superar esto? Supongamos que en lugar de usar una terna en progresión aritmética es en progresión geométrica. En las pirámides de sequed 22 como Keops, tenemos una pendiente  con la que nos acercamos mucho a una progresión geométrica de razón phi. Un triángulo muy particular, llamado triángulo de Price.

El único triángulo rectángulo que cumple c₁/c₂= c₂/h, siendo c_1,c₂ los catetos menor y mayor y h la hipotenusa. Esto es:
1/√Φ=√Φ /Φ

Es aquí donde nos topamos con la ínclita divina proporción.

            Ya desde la antigüedad (periodo helenístico) existía la creencia de que las proporciones de la Gran pirámide estaban relacionadas con la proporción áurea, algo que tampoco debe extrañar pues todos los grandes arquitectos de la antigüedad clásica la usaron. Según el historiador Heródoto, los Egipcios construyeron ésta de tal forma que el área de cada una de las caras triangulares laterales coincidiera con el área de un cuadrado de lado igual a la altura, o dicho de otro modo la proporción entre la apotema (altura de una cara) y el lado es φ/2. Esto se cumple únicamente si el triángulo rectángulo formado por la altura y apotema para un lado de la pirámide igual a 2, la altura es √φ y la apotema φ.

El constructor Hemiunu pudo muy bien elegir unas determinadas proporciones de la obra si pensaba en esta proporción.

El sequed 22 lo forma el angulo  51º50'34'' cuya tangente es 1,2727272727... Observemos que este número elevado al cuadrado es 1,6198347107438.

Por definición phi es =(1+√5)/2= 1,61803398874989

Para una coincidencia exacta el ángulo debería de ser 51º49' 38,2525427559221''.

            La proporción 22/28 del sequed pudiera parecer una casualidad en las pirámides de Nyuserra y Huny, pero no en Keops. Con esta pendiente y un lado cualquiera no aparece una relación  entera  con la altura en cr, salvo en la Gran Pirámide.

Nyuserra de lado 150 cr y altura =  (150/2)*28/22=96,0909090909091 cr

Huny de lado 275 cr y altura= (275/2)*28/22= 108,035714285714 cr

Mientras que  la altura en la pirámide de keops es exactamente 280 cr. 

Hay una clara  intencionalidad  de que el lado fuese multiplo de 22 para que de igual forma la altura sea multiplo de 28.

La pendiente de la cara es 280/220 ó 14/11

14/11=1.27272727... ≈ √Φ

Con una aproximación bastante buena, √Φ=1,27201964...

Precisión de un 0,055 % de error relativo. Lo que me dejó perplejo, ¿es realmente una casualidad?

Es que el triángulo rectángulo formado por la apotema, con la altura y el semi-lado está casi en progresión geométrica de phi. Únicamente hay un triángulo con esta progresión y se le llama triangulo de Kepler.

1 : φ½ : φ

1 : φ : φ² obviamente φ² = φ +1 si φ² = ( φ½)² + (1)²

Volviendo a la supuesta presencia de pi, podemos concluir que la aproximación se debe a que

4/√φ ≈ 22/7 =3,14285714285714 ≈π, como ya vimos.

            Por tanto, parece evidente que Hemiunu intencionadamente formó el triángulo de Kepler no así pi. Resulta por tanto descartable la intencionalidad del sequed para obtener una proporción cercana a pi, es casual, no obstante es de una imprecisión 4 veces superior a la de las medidas de la cámara del rey.

            Pero esto nos obliga a considerar que  algo más que la pendiente debió de tenerse en cuenta. La pendiente es una propiedad geométrica y por tanto independiente del sistema de medidas, no así el sequed. Que depende de la proporción del codo real egipcio y su submúltiplo (22 dedos o 5,5 palmos).  Supongamos que en lugar de utilizarse el Cr se usara el común Cn.   Es fácil comprobar como no obtendremos una proporción 14/11, las más cercana sería 24/19=1,263158. Con un error relativo de 0,7%.

Es ese palmo extra que hace al cr divisor de 7 el que permite ,junto con el divisor 4 del dedo, la gran precisión de √Φ.
Sentí curiosidad y decidí investigar más sobre el posible origen de este sistema de medidas egipcio.
Será en la próxima entrada.



Notas:

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[i] También llamado Dyeser. Advierto que en adelante igualmente pasa con muchos nombres de faraones que aparecen en la bibliografía de forma distinta, como ocurre con el propio Keops que es una trascripción griega de otras denominaciones castellanizadas como Jufu. Ténganlo en cuenta en adelante, pues no creo que valga la pena estar repitiendo los distintos nombres.

[ii] Se utilizan frecuentemente las mediciones del egiptólogo británico Sir William Matthew Flinders Petrie que fueron tomadas en pulgadas. ¿Creen que una pulgada (inch) son 2.54 cm? Si fuese cierto significaría que la unidad m del sistema métrico fue tomada a partir de la pulgada anglosajona. Lo que es absurdo. Pues tomando dos medidas al azar en la naturaleza, tomando una como patrón la otra tendría una medida infinitamente decimal. Esto no es cierto, la pulgada como patrón no ha sido una medida fija y es arbitraria, mientras solamente en la actualidad por motivos prácticos se usa la conversión exacta.

Es más, existe una diferencia entre las pulgadas en Europa y América.

En Europa = 2.539998 centímetros.

En América = 2.54000508 centímetros.

[iii] El Papiro Matemático Rhind (RMP) es el libro de texto más antiguo de su tipo en el mundo. Se trata de una copia realizada por el escriba Ahmose en el siglo XVI a.C, que fue encontrado en Tebas en la década de 1850; el original se remontaría a la época de los grandes constructores de pirámides. Fue comprado en Luxor por Alexander Henry Rhind, adquirido finalmente por el Museo Británico en 1865. El anverso de Bm 10057 está en exhibición permanente detrás vidrio en la tercera sala egipcia.

[iv] En realidad el codo real comienza teniendo un valor cercano a 0.524 en las primeras pirámides. Inexplicablemente  el patrón  irá alargándose  de forma progresiva con el paso de los siglos hasta pasar de 0.528.

[v] Los egipcios tenían un dominio de los número racionales aunque únicamente podían expresarse con sumas de fracciones con la unidad como numerador o a lo sumo con la fracción 2/3 y más tardíamente con la expresión 3/4. Sin embargo se cree que no conocían los número irracionales y por tanto no conocían pi, aunque podían calcular la longitud de la circunferencia o su área mediante un método de aproximación.

Las fuentes matemáticas son documentos del imperio medio, no tenemos por tanto de la época en que se construyeron las grandes pirámides. El principal documento es el conocido como papiro Rhind, que fue una copia del siglo XVI a.C. de un texto anterior del siglo XIX a.C.

[vi] En realidad la cuadratura del circulo es un antiguo rompecabezas que parte de la imposibilidad de  demostrar que con  la regla y el compás que se pueda construir  un cuadrado que tenga la misma área que un círculo dado previamente. Esto es debido a que no puede obtenerse como solución de una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean números enteros, esto es, no es un número algebraico sino trascendente.