LA MEDIDA DE LA ESFERA TERRESTRE

El hito y el mito confluyen en la figura de Eratóstenes.

El hito es el récord en el libro de Guinnes, algo que nace de la obsesión moderna de atribuir a un personaje singular  la gloria por ser el primero. En el caso de Eratóstenes, no creo que sus contemporáneos y otros que realizaron estudios geodésicos posteriores, hubiesen valorado este honor; probablemente, consideraron que su contribución al conocimiento del tamaño de la Tierra fue más discreta. En primer lugar, el método usado les parecería correcto pero nada original, no estaba descubriendo con ello nada no conocido; luego, debieron de pensar que estaba equivocado en su medida, por lo que rehicieron sus cálculos. Así, durante siglos, la medida de Eratóstenes quedó apartada a favor de otras de astrónomos de más prestigio; hasta el comienzo de las grandes exploraciones oceánicas, que pusieron en evidencia los grandes errores de estas mediciones tan poco precisas.

El mito se crea más de dos siglos después de la circunnavegación del planeta por Elcano, al advertirse que  la medida de la Tierra resulta muy cercana a la de Eratóstenes.

A mi modesto parecer,  la medición será usada para  propagar la soberbia capacidad de la ciencia en un tiempo en que el que se confrontaban los ideales de forma vehemente; por tanto, la construcción del mito que surge dentro del enfrentamiento con la fe, paradójicamente, orilla la objetividad, el rigor y el escepticismo propio de las ciencias físicas. No obstante este bibliotecario de Alejandría  mantiene un concepto de la ciencia propia de ideales platónicos y no de la evidencia empírica, por lo que me hace dudar  que el fin último para  Eratóstenes fuese conocer la forma de la Tierra y su medida. Sorprendentemente, esta praxis en la que lo importante es el método, no su cercanía al mundo real, sigue apareciendo frecuentemente en  la realidad científica actual.

El método que aprobaría un matemático de la época en cuanto a su planteamiento  geométrico, no sería adecuado para  un ingeniero o para un verdadero geodésico debido  a la forma muy grosera de medir la longitud del arco meridiano y del ángulo solar.

A favor del bibliotecario podemos decir que los que le precedieron, y rehicieron sus cálculos, cometieron idéntica falta de rigor en las medidas de elevación (solar o estelar) y distancia del arco. No buscaron reducir o, al menos, identificar el error cometido.

De hecho, durante la Edad Media, la medida considerada correcta de la Tierra es la de Ptolomeo. Y no porque mostrara un método más preciso, simplemente  se le reconocía más autoridad, sin que hubiese demostración  empírica a su favor[i].

Es obvio que nadie repara en la aparente precisión de la medida del bibliotecario hasta que, precisamente durante el siglo XVIII con el desarrollo de la Geodesia y  Topografía,  gracias  a métodos trigonométricos como la triangulación, se puede medir con precisión una distancia del arco terrestre meridiano, dado que a las mediciones se le asocia un error conocido  que puede reducirse con reiteraciones.

Abreviando, con las medidas usadas para sus cálculos era muy, muy improbable, que Eratóstenes obtuviese una medida admisible del meridiano terrestre. Parece más sencillo pensar que conociendo la medida y no sabiendo cómo se obtuvo, se inventara las cifras de sus mediciones  para que el resultado cuadrara. Claro que, este planteamiento choca con el concepto inmovilista de que no hay medida anterior. Fin de la historia para ellos... ¡Y sin embargo se mueve! Repasando el devenir de la astronomía antigua hasta la época de Eratóstenes, la pérdida del conocimiento antiguo por la decadencia del conocimiento en Babilonia y Egipto; unido a la desaparición del fondo bibliotecario de Alejandría posterior a Eratostenes. Todo ello me hace pensar que hay bastantes probabilidades para mantener la conjetura  de que hubo mediciones anteriores realizadas con un método similar o incluso más preciso.

En el siglo II a.C. el conocimiento matemático, astronómico, topográfico y geodésico no me parece que estuviesen en su cenit. Desde el momento en que se advierte que la Tierra es - en apariencia-  esférica y por tanto finita, algo que se deduce no únicamente por la observación topográfica sino astronómica, como es el hecho que el Sol (y la esfera celeste) repitan una trayectoria circular o que los astros parezcan  esferas.

Seguramente en la Biblioteca en la que trabajaba, habría obras referentes a ello que desgraciadamente desaparecieron.

Dado que el pensamiento científico nos llega de la mano de los Griegos, decimos que es Pitágoras el primero en considerar la Tierra como una esfera, e igualmente le atribuimos el teorema del triángulo rectángulo aprendido en Egipto y con un uso de -al menos- dos milenios antes. En consecuencia, la premisa de una Tierra esférica debía ser un concepto admitido igualmente mucho antes; entonces ¿no es razonable pensar que  mucho antes se midiera?

Para ello se debía contar con las matemáticas necesarias. En este sentido, los últimos descubrimientos sobre las matemáticas en Babilonia, el caso de la Tablilla Plimpton 32 datada entre 1.900-1.600 a.C, desvelan una gran capacidad para resolver los problemas trigonométricos que están detrás de  la moderna topografía, y de la geodesia clásica. Además, el sistema sexagesimal posicional les permitía manejar ángulos muy precisos. Que luego se usarán para definir la latitud y longitud en lugar del sistema decimal.

En todo caso, los sumerios y babilonios tenían una obsesión por medir los cielos y el tiempo.  ¡Cómo no iban a medir la Tierra! Seguramente Eratóstenes tenía esa información en los fondos de su biblioteca, aunque no sé si supo entenderla en su totalidad. Básicamente porque él no usó una medida precisa para determinar el ángulo usando el sistema sexagesimal, sino que uso una medida decimal (una proporción o número racional) igual como hubiese hecho un vulgar escriba egipcio 3.000 años antes. Muy poco preciso.

Y no digamos de su forma de medir la distancia y orientar el arco base en el meridiano. Tan simple y ridículo como suponer que el río Nilo discurría exactamente por el meridiano y la distancia entre Alejandría y Siena (la antigua ciudad egipcia Swenett, actual Asuán) era de 5.000 estadios exactos (ideal forma de ver el mundo). Los constructores de las primeras pirámides,  casi tres milenios antes, se hubiesen llevado las manos a cabeza. Les animo a que comprueben el error cometido en la orientación y en la medida  de estas obras, como las del conjunto de Giza o la Pirámide Roja. Sin duda eran grandes topógrafos, precisos, no como Eratóstenes.[ii]

Ahora les dejo información más detallada de la medición de Eratóstenes y otras referencias anteriores y posteriores de la medición terrestre.

Eratóstenes.

Se cuenta que Eratóstenes fue un sabio matemático, astrónomo  y geógrafo nacido en Cirene  en el año 276 a. C que dirigió la famosa biblioteca de Alejandría.

Sus estudios en estos campos fueron importantes, pero se dice que fue despectivamente llamado "el Beta" porque siempre estuvo detrás de los grandes de su época. Sin embargo este segundón ha pasado por ser el primero en medir la circunferencia de la Tierra por el meridiano, supuesta ésta una esfera perfecta.

 La medición.

La forma en la que realiza el cálculo es muy sencilla, sin ni siquiera abandonar Alejandría. Dice que había oído que en Siena en el solsticio de verano los rayos del sol caían perpendicularmente al medio día, esto se conocía pues en ese momento el fondo de los pozos se iluminaba y una vara clavada en la arena verticalmente no mostraba sombra. En ese momento midió el ángulo de la radiación solar con una estaca clavada en el suelo como 7,2º y luego interpretó la distancia entre Alejandría y Siena en 5.000 estadios suponiendo que ambas estaban en el mismo meridiano, por el tiempo que tardaban las caravanas de camellos en hacer ese viaje.

Luego uso una simple regla de tres.

7,2º es 1/50 de la circunferencia, por lo que 5.000 x 50 =250.000  estadios, seria la circunferencia completa. Más tarde rectificó la medida  final como 252.000 estadios.

Si como algunos sugieren, la unidad de medida fue el estadio egipcio, equivalente a 300 codos reales de 0,524 m, tenemos por tanto una circunferencia de

252.000*300*0.524= 39.569.040 m

Cuando la verdadera medida de la circunferencia polar es  de 40.009 km.

Esto supone un error  muy pequeño para haber usado un método tan grosero.

Si bien es cierto que hay quien discute que la unidad usada fuese el estadio egipcio, estando a favor del estadio ático-italiano de 184,8 m, que era el que solía utilizarse por los griegos de Alejandría en aquella época con un error de un 15% para el radio terrestre.


En todo caso seguiría siendo una aproximación buena.

Muchos aprendimos en el colegio esta historia ciertamente asombrosa y la admitimos sin más. Aunque, resulta increíble que Eratóstenes midiera con tanta precisión el meridiano cuando cometió errores groseros:

.- La Tierra no es esférica, por lo que un arco de un  grado no mide lo mismo en todo el meridiano.

.-La posición de Siena no estaba en el trópico.

.- Alejandría y Siena no se encuentran en el mismo meridiano, están separadas unos 3º de longitud. 

.- El ángulo medido en Alejandría era erróneo, pues debió ser 7,5º o 1/48 de la circunferencia.

.- Por no hablar de la forma de medir la distancia con un valor sospechosamente exacto.  La distancia real serian uno 843 km y la estimada en estadios egipcios sería de tan solo 786 km.

Si un profesor viese en un examen que un alumno a pesar de tomar un planteamiento con datos erróneos obtiene un resultado satisfactorio ¿qué pensaría?  Probablemente que su alumno copio del compañero el resultado y los arreglo convenientemente para obtener el final correcto.

Sin embargo, la explicación matemática sencilla y elegante nos fascina, el mito de Eratóstenes es  tan efectista como redondo; pero esconde una insalvable dificultad práctica.

Solamente hay una salida razonable a esta situación y es que Eratóstenes conocía de antemano la medida de la Tierra y buscó una forma de atribuirse la autoría, pues desconocía como se había realizado tal medida y, probablemente como ocurre actualmente entre los matemáticos, tampoco le importaba.

Por todo esto no es sorprendentemente que se intente explicar el error de Eratóstenes y no su acierto. Bueno, se suele leer que los errores se compensaron, algo ridículo.


Error correlación latitud 3º: Dado que ambas ciudades están separadas 7,5º el error relativo fue en relación a la distancia
d´²=  7,5²+3²; d´=8,07. Luego 100*(8,07-7,5/7,5)= 7,7%.

En realidad tomar el meridiano para este cálculo parte de un error de concepto, pues no era necesario si se suponía la redondez de la Tierra. Bastaba con tomar un arco cualquiera.

Error ángulo solar: 7,5º o 1/48 de la circunferencia.
100*(1/50-1/48)/1/48= 4%

Error distancia: real serian uno 843 km y la estimada en estadios egipcios sería de tan solo 786 km.
100* (843-786)/843=6,7%



Errores a los que habría que añadir en el cálculo final, la corrección del arco por dos motivos, uno por no encontrarse Asuan en el trópico sino a unos 40 km de la ciudad y otro por la irregularidad de la forma de la Tierra.

Después  Posidonio, un astrónomo Sirio, repitió el experimento usando como referencia el ángulo de elevación de la estrella Canopus (α-Carinae), con peor resultado, reduciendo la medida obtenida a 37.800 km. Nuevamente dicen que "se compensaron los errores" ¡Y tanto! El ángulo tomado de 7’5º era realmente de 5’25º, si este error fue importante, para la distancia entre Rodas  y Alejandría uso 5.000 estadios (contumaz volvió a usar la misma distancia que Eratóstenes tomó entre Alejandría y Siena, quédense con este dato) cuando la verdadera distancia es 3.800 estadios (605 km).


Después, en el siglo II d.C., Ptolomeo anotó que, según los escritos de Kleomedes, Posidonio utilizó una medida más exacta de la distancia entre Rodas y Alejandría de 3.750 estadios aunque mantuvo el ángulo de 7’5º para así obtener una circunferencia de 28.350 km. Será esta medida la que llegue hasta el Renacimiento europeo, momento en que se volvió trascendental para el devenir de la humanidad en el año de 1492. Colón había estudiado varias obras basadas en el trabajo de Ptolomeo, como el mapamundi  de Toscanelli  y otras, llegando a la corte castellana convenciendo que  nuestro planeta  tendría únicamente 24.000 km de circunferencia.

LA MEDICIÓN FINAL DE LA TIERRA

Hemos visto como en la antigüedad  no dispusieron de un método que les permitiera conocer la forma verdadera de la Tierra.

Se habrán dado cuenta que siendo hipotéticamente una esfera daba igual medir el arco meridiano que en otra posición como el ecuador, había una razón de peso, que era la imposibilidad para conocer con precisión la longitud hasta el desarrollo de los cronómetros durante el siglo XVIII, que tampoco fueron muy útiles hasta el siglo XIX. Esto mismo implicaba que la medida del arco meridiano se veía dificultada por no saber realmente si se estaba en él, pues con mediciones astronómicas no se podía calcular más que la latitud. En realidad se hicieron acercamientos desde la invención del telescopio por Galileo, aunque en la práctica solo fue útil para la navegación el método de distancias lunares hasta el 1850 que los cronómetros mejoraron su precisión.

Aunque ya antes se intuía que la Tierra no era esa esfera ideal de la antigüedad, no se demostrará la verdadera forma de la Tierra hasta el siglo XVIII usando el método de triangulación, la base de la topografía moderna. Cuando se realiza la medida precisa del arco en el Ecuador (entonces Virreinato del Perú) con la participación de Jorge Juan y Antonio de Ulloa, y otra medición igual en Laponia; la comparación entre estas dos longitudes del arco igual a un grado evidenciaba que la Tierra estaba achatada por los polos, algo que Newton, entre otros, ya intuían.

Pero la toma de una medida precisa de la Tierra llegará a principios del siglo XIX dentro de las innovaciones de la Revolución Francesa como base para la implantación de un nuevo sistema de medidas universal. Este sistema decimal tendría como patrón "el metro" que quedaría definido como la 1/10.000.000 parte del arco meridiano terrestre entre el polo y el ecuador.

En realidad se tomó como referencia un meridiano concreto del que se midió lo que suponía la décima parte (teóricamente 9º ó 1.000 km). Esta distancia no debía estar ni cerca del polo ni del ecuador para que el achatamiento fuera menor, tomándose la que hay entre Dunkerke y Barcelona, para ello trabajaron creando una red geodésica por el método de triangulación, con gran precisión, no como lo hizo Eratóstenes[iii].

Por estas razones, la comisión -entre cuyos miembros se incluía a Lagrange, Laplace, Monge y Condorcet- decidió que la nueva medida debía ser igual a la diezmillonésima parte de la distancia desde el polo norte al ecuador (un cuadrante de la circunferencia de la Tierra), medida a lo largo del meridiano que pasa por París[iv].


El resultado fue de 40.000.000 m. Cantidad exacta porque esta medida se tomo como referencia para el metro, patrón del Sistema Internacional.

Pero la superficie de la Tierra es irregular y con la mayor precisión de los instrumentos se modificó este valor en varias ocasiones; en consecuencia, hubo de modificarse el patrón físico del metro para que fuese algo universal y constante. Actualmente se usa la velocidad de la luz, la gran constante universal: el metro como la longitud del camino atravesado por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1/299.792.458 segundos medidos en tiempo atómico con un reloj de cesio 133.


[i] Para el lector no debe de resultar nada extraño que el conocimiento aceptado sea el propuesto por la autoridad en la materia. Sin embargo, aunque en ciencia este presente aún hoy día esta norma, es un vicio especialmente dentro de las ciencias experimentales (naturales) como señaló Galileo en primer lugar.


[ii] Para poner a prueba el método de Eratóstenes les comentó un experimento curioso. En 2009, la Web llamada "Astronomía2009.es" lanzó un reto de repetir el experimento de Eratóstenes en distintos institutos. Se realizó una entre los institutos de Saldaña y Málaga, usaron medidas precisas del SIGPAC para la distancia por lo que en este punto no había error, y midieron la altura solar con un gnomon. El resultado final fue de una circunferencia de 43.289 km. El error fue causado por calcular la altura solar con un ángulo de 55º 12' y la correcta hubiera sido de 49º 50'.


[iii] Aparte de las consideraciones nacionalistas obvias, el meridiano de París fue también una buena elección por razones científico-prácticas: esa parte del cuadrante entre Dunkerque y Barcelona (1000 km, o una décima parte del total) podría medirse entre puntos de inicio y final a nivel del mar, todo ello por tierra y la porción estaba más o menos en el centro del cuadrante, donde se esperaba que los efectos del achatamiento de la Tierra fueran menos notables.


[iv] El sistema métrico decimal, que es el sistema de unidades basado en el metro, fue adoptado oficialmente en Francia el 10 de diciembre de 1799 (19 de frimario del año VIII) y se convirtió en el único sistema legal de pesas y medidas desde 1801.